Номер 3.154, страница 120 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.154. Рассмотрите функцию $y = \frac{k}{x}$. Известно, что при $x > 0$ функция принимает только отрицательные значения, при $x < 0$ – только положительные значения.

1) Каков знак коэффициента $\text{k}$?

2) Можно ли подобрать значение $\text{k}$, чтобы гипербола проходила через точку с координатами $(0; 2)$? Обоснуйте ответ.

1) Дана функция $y = \frac{k}{x}$. Известно, что при $x > 0$ функция принимает отрицательные значения, то есть $y < 0$. Запишем это в виде неравенства: $\frac{k}{x} < 0$. Так как по условию знаменатель $x$ положителен ($x > 0$), для того чтобы вся дробь была отрицательной, необходимо, чтобы числитель $k$ был отрицательным. Следовательно, $k < 0$. Рассмотрим второе условие: при $x < 0$ функция принимает положительные значения, то есть $y > 0$. Запишем это в виде неравенства: $\frac{k}{x} > 0$. Так как по условию знаменатель $x$ отрицателен ($x < 0$), для того чтобы вся дробь была положительной, необходимо, чтобы числитель $k$ также был отрицательным (частное двух отрицательных чисел есть число положительное). Следовательно, $k < 0$. Оба условия приводят к одному и тому же выводу.

Ответ: Коэффициент $k$ должен быть отрицательным ($k < 0$).

2) Предположим, что можно подобрать такое значение $k$, чтобы гипербола $y = \frac{k}{x}$ проходила через точку с координатами $(0; 2)$. Это означает, что при подстановке координат точки $(x=0, y=2)$ в уравнение функции мы должны получить верное равенство: $2 = \frac{k}{0}$. Однако, выражение в правой части равенства не определено, так как деление на ноль в математике невозможно. Область определения функции $y = \frac{k}{x}$ — это все числа, кроме $x=0$. Таким образом, на графике этой функции не может быть ни одной точки с абсциссой, равной нулю. Точка $(0; 2)$ имеет абсциссу $0$, поэтому она не может принадлежать графику данной функции ни при каком значении $k$.

Ответ: Нет, подобрать такое значение $k$ нельзя. Это невозможно, потому что $x = 0$ не входит в область определения функции $y = \frac{k}{x}$, и, следовательно, график функции не может проходить через точку с абсциссой 0.