Номер 3.153, страница 120 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.153. На графике функции $y = \frac{k}{x}$ отмечена точка $(4; -2)$.

1) Найдите коэффициент $\text{k}$;

2) укажите, в каких четвертях расположен график этой гиперболы;

3) покажите на примере, что произойдет, если заменить $\text{x}$ на $-x$, и сделайте вывод о симметрии графика.

1) Найдите коэффициент k;

Функция задана уравнением $y = \frac{k}{x}$. По условию, точка с координатами $(4; -2)$ принадлежит графику этой функции. Это означает, что при подстановке $x=4$ и $y=-2$ в уравнение функции мы получим верное равенство.

Подставим значения:

$-2 = \frac{k}{4}$

Чтобы найти $k$, умножим обе части уравнения на 4:

$k = -2 \cdot 4$

$k = -8$

Таким образом, коэффициент $k$ равен -8, а функция имеет вид $y = -\frac{8}{x}$.

Ответ: $k = -8$.

2) укажите, в каких четвертях расположен график этой гиперболы;

График функции $y = \frac{k}{x}$ (гипербола) расположен в I и III координатных четвертях, если $k > 0$, и во II и IV четвертях, если $k < 0$.

В нашем случае мы нашли, что $k = -8$. Так как $k < 0$, ветви гиперболы расположены во второй и четвертой координатных четвертях.

Это можно проверить:

- Если $x > 0$ (I и IV четверти), то $y = -\frac{8}{x}$ будет меньше нуля. Положительный $x$ и отрицательный $y$ соответствуют IV четверти. Например, наша точка $(4; -2)$.

- Если $x < 0$ (II и III четверти), то $y = -\frac{8}{x}$ будет больше нуля. Отрицательный $x$ и положительный $y$ соответствуют II четверти.

Ответ: во второй и четвертой четвертях.

3) покажите на примере, что произойдет, если заменить x на -x, и сделайте вывод о симметрии графика.

Наша функция $y(x) = -\frac{8}{x}$.

Заменим в этой функции $x$ на $-x$:

$y(-x) = -\frac{8}{(-x)} = \frac{8}{x}$

Сравним полученное выражение с $-y(x)$:

$-y(x) = -(-\frac{8}{x}) = \frac{8}{x}$

Мы видим, что $y(-x) = -y(x)$. Это является признаком нечетной функции.

Покажем это на примере. Возьмем точку, данную в условии: $(4; -2)$. Здесь $x=4$, а $y = y(4) = -2$.

Теперь возьмем значение аргумента с противоположным знаком, то есть $x = -4$. Найдем соответствующее значение функции:

$y(-4) = -\frac{8}{-4} = 2$.

Мы получили точку $(-4; 2)$. Заметим, что $-y(4) = -(-2) = 2$, что как раз равно $y(-4)$.

Точки $(4; -2)$ и $(-4; 2)$ симметричны относительно начала координат $(0; 0)$.

Вывод: поскольку для любого значения $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = -y(x)$, график функции является симметричным относительно начала координат.

Ответ: при замене $x$ на $-x$ значение функции $y$ также меняет знак на противоположный ($y(-x) = -y(x)$). Это означает, что график функции симметричен относительно начала координат.