Номер 4.1, страница 125 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 4.1–4.6 по данным таблицам абсолютных или относительных частот найдите: 1) среднее арифметическое значение; 2) моду; 3) медиану.

4.1.

1) среднее арифметическое значение

Для нахождения среднего арифметического значения ($\bar{x}$) для выборки, заданной таблицей абсолютных частот, используется формула взвешенного среднего:

$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i n_i}{\sum_{i=1}^{k} n_i}$, где $x_i$ — значение варианты, а $n_i$ — соответствующая ей частота.

В данной задаче значения $x_i$ равны 2, 5, 7, 8, а соответствующие им частоты $n_i$ равны 1, 3, 2, 4.

Сначала найдем сумму произведений значений на их частоты (числитель дроби):

$\sum x_i n_i = (2 \cdot 1) + (5 \cdot 3) + (7 \cdot 2) + (8 \cdot 4) = 2 + 15 + 14 + 32 = 63$.

Затем найдем общее количество наблюдений в выборке, то есть сумму всех частот (знаменатель дроби):

$N = \sum n_i = 1 + 3 + 2 + 4 = 10$.

Теперь вычислим среднее арифметическое:

$\bar{x} = \frac{63}{10} = 6.3$.

Ответ: 6.3

2) мода

Мода ($Mo$) — это значение во множестве наблюдений, которое встречается наиболее часто. В таблице частот это значение $x_i$, которому соответствует наибольшая частота $n_i$.

Проанализируем частоты для каждого значения:

- для $x=2$ частота $n=1$;

- для $x=5$ частота $n=3$;

- для $x=7$ частота $n=2$;

- для $x=8$ частота $n=4$.

Наибольшая частота равна 4, и она соответствует значению $x=8$. Следовательно, мода данной выборки равна 8.

Ответ: 8

3) медиана

Медиана ($Me$) — это значение, которое делит упорядоченную выборку на две равные части.

Сначала необходимо представить данные в виде упорядоченного вариационного ряда. Учитывая частоты, ряд будет выглядеть так:

2, 5, 5, 5, 7, 7, 8, 8, 8, 8

Общее количество элементов в выборке $N = 10$. Так как количество элементов четное, медиана будет равна среднему арифметическому двух центральных элементов. Номера этих элементов: $\frac{N}{2}$ и $\frac{N}{2} + 1$.

В нашем случае это 5-й и 6-й элементы ряда.

Пятый элемент ряда: $x_5 = 7$

Шестой элемент ряда: $x_6 = 7$

Найдем медиану как среднее арифметическое этих двух элементов:

$Me = \frac{x_5 + x_6}{2} = \frac{7 + 7}{2} = \frac{14}{2} = 7$.

Ответ: 7