Номер 4.4, страница 126 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 4.1–4.6 по данным таблицам абсолютных или относительных частот найдите: 1) среднее арифметическое значение; 2) моду; 3) медиану.

4.4.

1) среднее арифметическое значение

Среднее арифметическое значение для дискретного вариационного ряда (взвешенное среднее) вычисляется по формуле:

$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i n_i}{\sum_{i=1}^{k} n_i}$

где $x_i$ - это значения из выборки, а $n_i$ - соответствующие им абсолютные частоты.

Сначала найдем общий объем выборки $N$, который равен сумме всех частот:

$N = \sum n_i = 10 + 15 + 30 + 20 + 25 = 100$.

Далее вычислим сумму произведений каждого значения на его частоту:

$\sum x_i n_i = (15 \cdot 10) + (20 \cdot 15) + (25 \cdot 30) + (30 \cdot 20) + (35 \cdot 25)$

$\sum x_i n_i = 150 + 300 + 750 + 600 + 875 = 2675$.

Теперь подставим найденные значения в формулу для среднего арифметического:

$\bar{x} = \frac{2675}{100} = 26.75$.

Ответ: 26.75.

2) мода

Мода ($Mo$) — это значение признака, которое встречается в выборке наиболее часто. Для нахождения моды нужно найти значение $x_i$, которому соответствует наибольшая частота $n_i$.

В данной таблице частоты равны 10, 15, 30, 20, 25. Наибольшая частота — 30.

Этой частоте соответствует значение $x_i = 25$.

Ответ: 25.

3) медиана

Медиана ($Me$) — это значение, которое делит упорядоченную по возрастанию выборку на две равные по численности части.

Общий объем выборки $N = 100$. Поскольку $N$ — четное число, медиана равна среднему арифметическому двух центральных элементов выборки, а именно элементов с номерами $\frac{N}{2}$ и $\frac{N}{2} + 1$.

В нашем случае это элементы с номерами $\frac{100}{2} = 50$ и $50 + 1 = 51$.

Чтобы найти значения этих элементов, рассмотрим накопленные частоты:

- Значение 15 (частота 10) занимает позиции с 1 по 10. Накопленная частота: 10.

- Значение 20 (частота 15) занимает позиции с 11 по 25 ($10+15$). Накопленная частота: 25.

- Значение 25 (частота 30) занимает позиции с 26 по 55 ($25+30$). Накопленная частота: 55.

- Значение 30 (частота 20) занимает позиции с 56 по 75 ($55+20$). Накопленная частота: 75.

- Значение 35 (частота 25) занимает позиции с 76 по 100 ($75+25$). Накопленная частота: 100.

И 50-й, и 51-й элементы находятся в интервале позиций от 26 до 55, что соответствует значению 25.

Следовательно, $x_{50} = 25$ и $x_{51} = 25$.

Вычисляем медиану:

$Me = \frac{x_{50} + x_{51}}{2} = \frac{25 + 25}{2} = 25$.

Ответ: 25.