Номер 4.9, страница 126 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.9. Найдите $n_4$ и объем выборки $\text{n}$, если среднее арифметическое значение выборки таково: $\bar{X} = -0,3$.

Среднее арифметическое значение выборки $\bar{X}$ (также называемое выборочным средним) для сгруппированных данных вычисляется по формуле:

$\bar{X} = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i n_i}{\sum_{i=1}^{k} n_i} = \frac{x_1 n_1 + x_2 n_2 + x_3 n_3 + x_4 n_4}{n_1 + n_2 + n_3 + n_4}$

где $x_i$ — значения вариант, $n_i$ — соответствующие им частоты, а $n = \sum n_i$ — объем выборки.

По условию задачи нам даны:

• Значения вариант: $x_1 = -5$, $x_2 = 2$, $x_3 = 3$, $x_4 = 4$.
• Соответствующие частоты: $n_1 = 4$, $n_2 = 3$, $n_3 = 1$, $n_4$ — неизвестно.
• Среднее арифметическое значение: $\bar{X} = -0,3$.

Подставим известные значения в формулу среднего арифметического:

$-0,3 = \frac{(-5) \cdot 4 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 1 + 4 \cdot n_4}{4 + 3 + 1 + n_4}$

Выполним вычисления в числителе и знаменателе:

$-0,3 = \frac{-20 + 6 + 3 + 4n_4}{8 + n_4}$

$-0,3 = \frac{-11 + 4n_4}{8 + n_4}$

Для того чтобы решить это уравнение относительно $n_4$, умножим обе его части на знаменатель $(8 + n_4)$:

$-0,3 \cdot (8 + n_4) = -11 + 4n_4$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$-0,3 \cdot 8 - 0,3 \cdot n_4 = -11 + 4n_4$

$-2,4 - 0,3n_4 = -11 + 4n_4$

Сгруппируем слагаемые с $n_4$ в одной части уравнения, а числовые значения — в другой:

$11 - 2,4 = 4n_4 + 0,3n_4$

$8,6 = 4,3n_4$

Теперь найдем $n_4$:

$n_4 = \frac{8,6}{4,3}$

$n_4 = 2$

Далее найдем объем выборки $n$. Объем выборки — это сумма всех частот:

$n = n_1 + n_2 + n_3 + n_4$

Подставим известные и найденное значения частот:

$n = 4 + 3 + 1 + 2$

$n = 10$

Таким образом, мы нашли искомую частоту $n_4$ и объем выборки $n$.

Ответ: $n_4 = 2$, $n = 10$.