Номер 4.13, страница 127 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 4.13 – 4.14 по данным выборки: 1) составьте таблицу абсолютных частот; 2) составьте таблицу относительных частот; 3) найдите среднее арифметическое значение; 4) найдите моду и медиану.

4.13. 42 42 41 49 42

41 49 42 41 42

45 42 42 41 49

40 45 41 44 44

41 45 42 43 43

1) составьте таблицу абсолютных частот

Исходная выборка содержит 25 элементов, следовательно, объем выборки $n=25$. Для составления таблицы абсолютных частот сначала необходимо найти все уникальные значения (варианты) в выборке, а затем подсчитать, сколько раз каждая варианта встречается (ее абсолютную частоту $n_i$).

Уникальные варианты в порядке возрастания: 40, 41, 42, 43, 44, 45, 49.

Подсчитаем их абсолютные частоты:

• Значение 40 встречается 1 раз, следовательно $n_{40}=1$.
• Значение 41 встречается 6 раз, следовательно $n_{41}=6$.
• Значение 42 встречается 8 раз, следовательно $n_{42}=8$.
• Значение 43 встречается 2 раза, следовательно $n_{43}=2$.
• Значение 44 встречается 2 раза, следовательно $n_{44}=2$.
• Значение 45 встречается 3 раза, следовательно $n_{45}=3$.
• Значение 49 встречается 3 раза, следовательно $n_{49}=3$.

Проверим, что сумма всех частот равна объему выборки: $1 + 6 + 8 + 2 + 2 + 3 + 3 = 25$. Сумма верна.

Теперь составим таблицу абсолютных частот:

Ответ: Для значений 40, 41, 42, 43, 44, 45, 49 абсолютные частоты равны соответственно 1, 6, 8, 2, 2, 3, 3.

2) составьте таблицу относительных частот

Относительная частота ($W_i$) для каждой варианты вычисляется по формуле $W_i = \frac{n_i}{n}$, где $n_i$ - абсолютная частота, а $n$ - объем выборки. В нашем случае $n=25$.

• Для $x=40: W = \frac{1}{25} = 0.04$
• Для $x=41: W = \frac{6}{25} = 0.24$
• Для $x=42: W = \frac{8}{25} = 0.32$
• Для $x=43: W = \frac{2}{25} = 0.08$
• Для $x=44: W = \frac{2}{25} = 0.08$
• Для $x=45: W = \frac{3}{25} = 0.12$
• Для $x=49: W = \frac{3}{25} = 0.12$

Сумма всех относительных частот должна быть равна 1: $0.04 + 0.24 + 0.32 + 0.08 + 0.08 + 0.12 + 0.12 = 1.00$.

Таблица относительных частот:

Ответ: Относительные частоты для значений 40, 41, 42, 43, 44, 45, 49 равны соответственно 0.04, 0.24, 0.32, 0.08, 0.08, 0.12, 0.12.

3) найдите среднее арифметическое значение

Среднее арифметическое значение выборки ($\bar{x}$) вычисляется по формуле для взвешенного среднего: $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i n_i}{n}$.

Вычислим сумму произведений каждой варианты на ее абсолютную частоту:

$\sum x_i n_i = (40 \cdot 1) + (41 \cdot 6) + (42 \cdot 8) + (43 \cdot 2) + (44 \cdot 2) + (45 \cdot 3) + (49 \cdot 3) = 40 + 246 + 336 + 86 + 88 + 135 + 147 = 1078$.

Разделим полученную сумму на объем выборки $n=25$:

$\bar{x} = \frac{1078}{25} = 43.12$.

Ответ: Среднее арифметическое значение равно 43.12.

4) найдите моду и медиану

Мода ($Mo$) — это варианта, имеющая наибольшую абсолютную частоту. Из таблицы абсолютных частот видно, что наибольшая частота равна 8 и соответствует варианте 42.

Медиана ($Me$) — это значение, которое делит упорядоченную выборку на две равные по численности части. Так как объем выборки $n = 25$ (нечетное число), медиана — это элемент, стоящий в середине вариационного ряда, то есть на позиции $\frac{n+1}{2}$.

Номер медианы = $\frac{25+1}{2} = 13$.

Чтобы найти 13-й элемент, рассмотрим накопленные частоты:

• Значение 40: 1-й элемент.
• Значения 41: со 2-го по 7-й элемент ($1+6=7$).
• Значения 42: с 8-го по 15-й элемент ($7+8=15$).

13-й по счету элемент попадает в группу значений, равных 42.

Ответ: Мода = 42, Медиана = 42.