Номер 4.11, страница 127 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.11. Дана таблица относительных частот случайной величины: $\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x_i & 2 & x_2 & 5 & 7 \\ \hline \omega_i & 0,2 & 0,3 & 0,3 & \omega_4 \\ \hline \end{array}$

Найдите $x_2$ и $\omega_4$, если $\bar{X} = 4,2$.

Для нахождения неизвестных величин $x_2$ и $\omega_4$ воспользуемся двумя основными свойствами ряда распределения относительных частот.

1. Нахождение $\omega_4$

Сумма всех относительных частот $\omega_i$ в любом ряду распределения всегда равна 1. Это можно записать в виде формулы:

$ \sum_{i=1}^{n} \omega_i = 1 $

Для нашей таблицы с четырьмя значениями это выглядит так:

$ \omega_1 + \omega_2 + \omega_3 + \omega_4 = 1 $

Подставим известные значения относительных частот из таблицы:

$ 0,2 + 0,3 + 0,3 + \omega_4 = 1 $

Сложим известные частоты:

$ 0,8 + \omega_4 = 1 $

Теперь выразим и найдем неизвестную частоту $\omega_4$:

$ \omega_4 = 1 - 0,8 $

$ \omega_4 = 0,2 $

2. Нахождение $x_2$

Выборочное среднее $\bar{X}$ случайной величины вычисляется как сумма произведений каждого значения $x_i$ на его относительную частоту $\omega_i$. Формула для выборочного среднего:

$ \bar{X} = \sum_{i=1}^{n} x_i \omega_i = x_1\omega_1 + x_2\omega_2 + x_3\omega_3 + x_4\omega_4 $

По условию задачи, выборочное среднее $\bar{X} = 4,2$. Подставим это значение, а также все известные значения $x_i$ и $\omega_i$ (включая найденное на предыдущем шаге $\omega_4 = 0,2$) в формулу:

$ 4,2 = 2 \cdot 0,2 + x_2 \cdot 0,3 + 5 \cdot 0,3 + 7 \cdot 0,2 $

Выполним умножение для известных слагаемых:

$ 4,2 = 0,4 + 0,3x_2 + 1,5 + 1,4 $

Сгруппируем и сложим числовые значения в правой части уравнения:

$ 4,2 = (0,4 + 1,5 + 1,4) + 0,3x_2 $

$ 4,2 = 3,3 + 0,3x_2 $

Теперь решим это линейное уравнение, чтобы найти $x_2$:

$ 0,3x_2 = 4,2 - 3,3 $

$ 0,3x_2 = 0,9 $

$ x_2 = \frac{0,9}{0,3} $

$ x_2 = 3 $

Ответ: $x_2 = 3$, $\omega_4 = 0,2$.