Номер 3.144, страница 119 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.144. Начертите график функции $y = -\frac{4}{x}$ и укажите промежутки, где функция принимает:

1) положительные значения;

2) значения между $-4$ и $-2$.

Функция $y = -\frac{4}{x}$ является обратной пропорциональностью. Её график — гипербола, состоящая из двух ветвей. Так как коэффициент $k = -4$ отрицательный, ветви гиперболы расположены во второй и четвёртой координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат $x=0$ и $y=0$.

Для построения графика составим таблицу значений, выбрав несколько точек:

Нанеся эти точки на координатную плоскость и соединив их плавными кривыми, мы получим график функции. Одна ветвь будет во второй четверти (для $x<0$), а другая — в четвёртой (для $x>0$).

Теперь укажем промежутки, где функция принимает требуемые значения.

1) положительные значения

Функция принимает положительные значения, когда $y > 0$. Запишем соответствующее неравенство:

$-\frac{4}{x} > 0$

Дробь в левой части неравенства будет положительной, если её числитель и знаменатель имеют разные знаки. Поскольку числитель $(-4)$ является отрицательным числом, то для выполнения неравенства знаменатель $x$ также должен быть отрицательным.

$x < 0$

Следовательно, функция принимает положительные значения на промежутке $(-\infty, 0)$. Это также видно из графика: ветвь гиперболы расположена выше оси $Ox$ именно при $x < 0$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0)$.

2) значения между -4 и -2

Нам нужно найти такие значения $x$, при которых значения функции $y$ находятся в интервале от $-4$ до $-2$. Это можно записать в виде двойного неравенства:

$-4 < y < -2$

Подставим выражение для функции:

$-4 < -\frac{4}{x} < -2$

Умножим все части неравенства на $-1$. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$4 > \frac{4}{x} > 2$

Запишем это неравенство в более привычном порядке:

$2 < \frac{4}{x} < 4$

Из этого неравенства следует, что $\frac{4}{x}$ — положительное число, а значит, и $x$ должен быть положительным ($x > 0$). Так как все части неравенства положительны, мы можем взять от них обратные величины, при этом снова изменив знаки неравенства на противоположные:

$\frac{1}{2} > \frac{x}{4} > \frac{1}{4}$

Запишем в стандартном порядке:

$\frac{1}{4} < \frac{x}{4} < \frac{1}{2}$

Чтобы найти $x$, умножим все части неравенства на 4:

$4 \cdot \frac{1}{4} < 4 \cdot \frac{x}{4} < 4 \cdot \frac{1}{2}$

$1 < x < 2$

Таким образом, функция принимает значения между $-4$ и $-2$, когда $x$ находится в промежутке от 1 до 2. На графике это соответствует участку ветви в четвёртой четверти между точками $(1, -4)$ и $(2, -2)$.

Ответ: $x \in (1, 2)$.