Вопросы, страница 71 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В каких случаях разложение многочлена на множители выполняют способом группировки?

По рис. 2.1 найдите:

1) сумму площадей незакрашенных квадратов и закрашенных прямоугольников;

2) площадь большого квадрата. Приравняйте выражения, полученные в пунктах 1) и 2), и запишите равенство.

Рис. 2.1

Разложение многочлена на множители способом группировки применяют тогда, когда у всех членов многочлена нет общего множителя. Этот метод заключается в том, чтобы объединить члены многочлена в группы таким образом, чтобы после вынесения общего множителя из каждой группы за скобки, оставшиеся в скобках выражения оказались одинаковыми. Этот общий множитель (в виде многочлена) затем выносится за скобки. Метод особенно полезен для многочленов, имеющих четное число членов (например, четыре, шесть и т.д.), которые не имеют общего множителя для всех членов сразу.

1) сумму площадей незакрашенных квадратов и закрашенных прямоугольников;

На рисунке 2.1 большой квадрат разделен на четыре части: два незакрашенных квадрата и два закрашенных прямоугольника. Найдем сумму их площадей:

Площадь верхнего правого незакрашенного квадрата со стороной $a$ равна $a \cdot a = a^2$.

Площадь нижнего левого незакрашенного квадрата со стороной $b$ равна $b \cdot b = b^2$.

Площадь верхнего левого закрашенного прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ равна $ab$.

Площадь нижнего правого закрашенного прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ также равна $ab$.

Сумма площадей всех этих фигур равна: $a^2 + b^2 + ab + ab = a^2 + 2ab + b^2$.

Ответ: $a^2 + 2ab + b^2$.

2) площадь большого квадрата.

Большой квадрат, показанный на рисунке, имеет сторону, длина которой равна сумме длин отрезков $a$ и $b$. Таким образом, длина стороны большого квадрата равна $a+b$. Площадь квадрата вычисляется как квадрат длины его стороны.

Площадь большого квадрата: $S = (a+b) \cdot (a+b) = (a+b)^2$.

Ответ: $(a+b)^2$.

Приравняйте выражения, полученные в пунктах 1) и 2), и запишите равенство.

Поскольку сумма площадей частей (из пункта 1) должна быть равна площади всей фигуры (из пункта 2), мы можем приравнять полученные выражения.

Выражение из пункта 1: $a^2 + 2ab + b^2$.

Выражение из пункта 2: $(a+b)^2$.

Приравнивая их, получаем тождество, известное как формула квадрата суммы:

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Ответ: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.