Номер 2.122, страница 72 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.122. Докажите тождество:

1) $x(y-a)+a(x + y) = y(x + a);$

2) $x(y-2)+2(x + y) = y(x + 2);$

3) $m(m-n)+2mn = m (m + n);$

4) $x(1-x)+ x(x^2-1) = x^2 (x-1).$

1) Чтобы доказать тождество $x(y-a)+a(x+y)=y(x+a)$, преобразуем его левую часть. Для этого раскроем скобки, используя распределительный закон умножения:

$x(y-a)+a(x+y) = x \cdot y - x \cdot a + a \cdot x + a \cdot y = xy - ax + ax + ay$

Приведем подобные слагаемые. Члены $-ax$ и $+ax$ являются противоположными, и их сумма равна нулю:

$xy - ax + ax + ay = xy + ay$

Теперь вынесем общий множитель $y$ за скобки:

$xy + ay = y(x+a)$

В результате преобразования левой части мы получили выражение, которое в точности совпадает с правой частью тождества. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество $x(y-2)+2(x+y)=y(x+2)$. Для этого будем преобразовывать левую часть равенства. Раскроем скобки:

$x(y-2)+2(x+y) = x \cdot y - x \cdot 2 + 2 \cdot x + 2 \cdot y = xy - 2x + 2x + 2y$

Приведем подобные слагаемые. Слагаемые $-2x$ и $+2x$ взаимно уничтожаются:

$xy - 2x + 2x + 2y = xy + 2y$

Вынесем общий множитель $y$ за скобки:

$xy + 2y = y(x+2)$

Полученное выражение совпадает с правой частью исходного равенства. Таким образом, тождество является верным.

Ответ: Тождество доказано.

3) Для доказательства тождества $m(m-n)+2mn = m(m+n)$ преобразуем левую часть. Сначала раскроем скобки:

$m(m-n)+2mn = m \cdot m - m \cdot n + 2mn = m^2 - mn + 2mn$

Далее приведем подобные слагаемые:

$m^2 - mn + 2mn = m^2 + mn$

Вынесем общий множитель $m$ за скобки:

$m^2 + mn = m(m+n)$

Левая часть тождества после преобразований стала равна правой части. Значит, равенство является тождеством.

Ответ: Тождество доказано.

4) Докажем тождество $x(1-x)+x(x^2-1)=x^2(x-1)$. Преобразуем левую часть равенства. Раскроем скобки в каждом слагаемом:

$x(1-x)+x(x^2-1) = (x \cdot 1 - x \cdot x) + (x \cdot x^2 - x \cdot 1) = x - x^2 + x^3 - x$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые. Члены $x$ и $-x$ взаимно уничтожаются:

$(x - x) - x^2 + x^3 = 0 - x^2 + x^3 = x^3 - x^2$

Вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени, то есть $x^2$:

$x^3 - x^2 = x^2(x-1)$

В результате мы преобразовали левую часть к виду правой части, что и доказывает исходное тождество.

Ответ: Тождество доказано.