Номер 2.129, страница 73 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.129. Докажите, что при всех целых $\text{n}$ значение выражения:

1) $n(n-1)-(n+3)(n+2)$ делится на 6;

2) $n(n+5)-(n-3)(n+2)$ делится на 6.

1) Чтобы доказать, что значение выражения $n(n-1)-(n+3)(n+2)$ делится на 6 при всех целых $n$, необходимо упростить это выражение.

Сначала раскроем скобки в каждом из произведений:

$n(n-1) = n^2 - n$

$(n+3)(n+2) = n^2 + 2n + 3n + 6 = n^2 + 5n + 6$

Теперь подставим раскрытые многочлены обратно в исходное выражение:

$(n^2 - n) - (n^2 + 5n + 6) = n^2 - n - n^2 - 5n - 6$

Приведем подобные слагаемые:

$(n^2 - n^2) + (-n - 5n) - 6 = -6n - 6$

Вынесем общий множитель $-6$ за скобки:

$-6(n+1)$

Поскольку $n$ — целое число по условию, то сумма $n+1$ также является целым числом. Произведение $-6$ на любое целое число всегда делится на 6 без остатка. Следовательно, значение выражения $n(n-1)-(n+3)(n+2)$ делится на 6 при любом целом $n$.

Ответ: Доказано.

2) Докажем, что значение выражения $n(n+5)-(n-3)(n+2)$ делится на 6 при всех целых $n$. Для этого также проведем упрощение.

Раскроем скобки:

$n(n+5) = n^2 + 5n$

$(n-3)(n+2) = n^2 + 2n - 3n - 6 = n^2 - n - 6$

Подставим полученные многочлены в исходное выражение:

$(n^2 + 5n) - (n^2 - n - 6) = n^2 + 5n - n^2 + n + 6$

Приведем подобные слагаемые:

$(n^2 - n^2) + (5n + n) + 6 = 6n + 6$

Вынесем общий множитель 6 за скобки:

$6(n+1)$

Так как $n$ — целое число, то $n+1$ также является целым числом. Произведение числа 6 на любое целое число всегда делится на 6. Таким образом, значение выражения $n(n+5)-(n-3)(n+2)$ всегда делится на 6 при любом целом $n$.

Ответ: Доказано.