Номер 2.130, страница 73 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.130. Докажите, что: 1) сумма двух нечетных чисел — четное число; 2) произведение двух нечетных чисел — нечетное число.

1) Докажем, что сумма двух нечетных чисел — четное число.

Любое нечетное число можно представить в виде $2k + 1$, где $k$ — целое число. Возьмем два произвольных нечетных числа, $a$ и $b$. Пусть $a = 2k + 1$ и $b = 2m + 1$, где $k$ и $m$ — некоторые целые числа.

Найдем их сумму:

$a + b = (2k + 1) + (2m + 1) = 2k + 2m + 2$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$a + b = 2(k + m + 1)$

Поскольку $k$ и $m$ — целые числа, то их сумма $k + m$ также является целым числом, и, соответственно, $k + m + 1$ — тоже целое число. Обозначим $n = k + m + 1$. Тогда сумма наших чисел равна $2n$.

По определению, число, которое можно представить в виде $2n$, где $n$ — целое число, является четным. Следовательно, сумма двух нечетных чисел всегда является четным числом.

Ответ: доказано.

2) Докажем, что произведение двух нечетных чисел — нечетное число.

Воспользуемся тем же представлением для двух произвольных нечетных чисел: $a = 2k + 1$ и $b = 2m + 1$, где $k$ и $m$ — целые числа.

Найдем их произведение:

$a \cdot b = (2k + 1)(2m + 1)$

Раскроем скобки:

$a \cdot b = 4km + 2k + 2m + 1$

Вынесем общий множитель 2 у первых трех слагаемых:

$a \cdot b = 2(2km + k + m) + 1$

Так как $k$ и $m$ — целые числа, то выражение в скобках $(2km + k + m)$ также является целым числом. Обозначим это выражение как $p$, где $p = 2km + k + m$. Тогда произведение наших чисел равно $2p + 1$.

По определению, число, которое можно представить в виде $2p + 1$, где $p$ — целое число, является нечетным. Следовательно, произведение двух нечетных чисел всегда является нечетным числом.

Ответ: доказано.