Номер 2.132, страница 73 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.132. Длина прямоугольника в 3 раза больше его ширины. Если ширину прямоугольника увеличить на 4 м, а длину его уменьшить на 5 м, площадь прямоугольника увеличится на $15 \text{ м}^2$. Найдите измерения прямоугольника.

Пусть ширина исходного прямоугольника равна $x$ м. Согласно условию, длина прямоугольника в 3 раза больше его ширины, следовательно, длина равна $3x$ м.

Площадь исходного прямоугольника, обозначим ее $S_1$, равна произведению длины на ширину: $S_1 = 3x \cdot x = 3x^2$ м².

Если ширину прямоугольника увеличить на 4 м, то новая ширина составит $(x + 4)$ м. Если длину его уменьшить на 5 м, то новая длина составит $(3x - 5)$ м.

Площадь нового прямоугольника, обозначим ее $S_2$, будет равна: $S_2 = (x + 4)(3x - 5)$ м².

По условию задачи, площадь нового прямоугольника увеличится на 15 м², это означает, что $S_2$ на 15 м² больше, чем $S_1$. Математически это можно записать как уравнение: $S_2 = S_1 + 15$

Подставим выражения для $S_1$ и $S_2$: $(x + 4)(3x - 5) = 3x^2 + 15$

Раскроем скобки в левой части уравнения: $x \cdot 3x + x \cdot (-5) + 4 \cdot 3x + 4 \cdot (-5) = 3x^2 + 15$ $3x^2 - 5x + 12x - 20 = 3x^2 + 15$

Приведем подобные слагаемые в левой части: $3x^2 + 7x - 20 = 3x^2 + 15$

Теперь решим полученное уравнение. Вычтем $3x^2$ из обеих частей уравнения: $7x - 20 = 15$

Прибавим 20 к обеим частям уравнения: $7x = 15 + 20$ $7x = 35$

Разделим обе части на 7, чтобы найти $x$: $x = \frac{35}{7}$ $x = 5$

Итак, мы нашли ширину исходного прямоугольника: 5 м. Теперь найдем его длину: Длина = $3x = 3 \cdot 5 = 15$ м.

Проверка: Исходные размеры: ширина 5 м, длина 15 м. Площадь $S_1 = 5 \cdot 15 = 75$ м². Новые размеры: ширина $5 + 4 = 9$ м, длина $15 - 5 = 10$ м. Площадь $S_2 = 9 \cdot 10 = 90$ м². Увеличение площади: $S_2 - S_1 = 90 - 75 = 15$ м². Условия задачи выполнены.

Ответ: ширина прямоугольника 5 м, длина 15 м.