Номер 2.127, страница 73 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.127. Докажите тождество:

1) $(x-5)(x+8)-(x+4)(x-1)=-36;$

2) $x^4 - (x^2-1)(x^2+1) = 1;$

3) $x^4 - (x^2-7)(x^2+7) = 49;$

4) $(x-3)(x+7)-(x+5)(x-1) = -16.$

1) Для доказательства тождества $(x-5)(x+8)-(x+4)(x-1)=-36$ преобразуем его левую часть. Раскроем скобки в каждом произведении многочленов:

Первое произведение: $(x-5)(x+8) = x \cdot x + x \cdot 8 - 5 \cdot x - 5 \cdot 8 = x^2 + 8x - 5x - 40 = x^2 + 3x - 40$.

Второе произведение: $(x+4)(x-1) = x \cdot x + x \cdot (-1) + 4 \cdot x + 4 \cdot (-1) = x^2 - x + 4x - 4 = x^2 + 3x - 4$.

Теперь подставим полученные выражения в левую часть исходного тождества:

$(x^2 + 3x - 40) - (x^2 + 3x - 4)$.

Раскроем скобки, учитывая знак минус перед второй скобкой:

$x^2 + 3x - 40 - x^2 - 3x + 4$.

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) + (3x - 3x) + (-40 + 4) = 0 + 0 - 36 = -36$.

Левая часть тождества равна $-36$, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: $-36 = -36$.

2) Докажем тождество $x^4 - (x^2-1)(x^2+1) = 1$.

Преобразуем левую часть. Выражение $(x^2-1)(x^2+1)$ является произведением разности и суммы двух выражений, что соответствует формуле разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. В нашем случае $a = x^2$ и $b = 1$.

Применим формулу:

$(x^2-1)(x^2+1) = (x^2)^2 - 1^2 = x^4 - 1$.

Подставим это выражение в левую часть исходного тождества:

$x^4 - (x^4 - 1)$.

Раскроем скобки:

$x^4 - x^4 + 1 = 1$.

Левая часть равна $1$, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: $1 = 1$.

3) Докажем тождество $x^4 - (x^2-7)(x^2+7) = 49$.

Преобразуем левую часть. Воспользуемся формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ для произведения $(x^2-7)(x^2+7)$, где $a = x^2$ и $b = 7$.

Получаем:

$(x^2-7)(x^2+7) = (x^2)^2 - 7^2 = x^4 - 49$.

Подставим результат в левую часть тождества:

$x^4 - (x^4 - 49)$.

Раскроем скобки:

$x^4 - x^4 + 49 = 49$.

Левая часть равна $49$, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: $49 = 49$.

4) Для доказательства тождества $(x-3)(x+7)-(x+5)(x-1) = -16$ преобразуем его левую часть. Сначала раскроем скобки в каждом произведении:

$(x-3)(x+7) = x^2 + 7x - 3x - 21 = x^2 + 4x - 21$.

$(x+5)(x-1) = x^2 - x + 5x - 5 = x^2 + 4x - 5$.

Подставим полученные многочлены в исходное выражение:

$(x^2 + 4x - 21) - (x^2 + 4x - 5)$.

Теперь раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^2 + 4x - 21 - x^2 - 4x + 5 = (x^2 - x^2) + (4x - 4x) + (-21 + 5) = 0 + 0 - 16 = -16$.

Левая часть тождества равна $-16$, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: $-16 = -16$.