Номер 2.128, страница 73 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.128. Докажите, что выражение $(n-6)(n+8)-2(n-25)$ при любом значении $\text{n}$ принимает положительное значение.

Чтобы доказать, что выражение $(n-6)(n+8) - 2(n-25)$ при любом значении n принимает положительное значение, необходимо его упростить и проанализировать результат.

1. Раскроем скобки в выражении. Сначала перемножим первые две скобки (многочлен на многочлен), а затем раскроем вторую часть выражения:

$(n-6)(n+8) = n \cdot n + 8 \cdot n - 6 \cdot n - 6 \cdot 8 = n^2 + 8n - 6n - 48 = n^2 + 2n - 48$

$-2(n-25) = -2 \cdot n - 2 \cdot (-25) = -2n + 50$

2. Теперь сложим полученные результаты, чтобы получить итоговое упрощенное выражение:

$(n^2 + 2n - 48) + (-2n + 50) = n^2 + 2n - 48 - 2n + 50$

3. Приведем подобные слагаемые:

$n^2 + (2n - 2n) + (50 - 48) = n^2 + 0 + 2 = n^2 + 2$

Итак, исходное выражение тождественно равно $n^2 + 2$.

4. Проанализируем полученное выражение $n^2 + 2$.

Квадрат любого действительного числа n всегда является неотрицательным числом, то есть $n^2 \ge 0$.

Следовательно, наименьшее возможное значение для $n^2$ равно 0 (при $n=0$).

Если к наименьшему значению $n^2$ (которое равно 0) прибавить 2, мы получим $0 + 2 = 2$.

Во всех остальных случаях, когда $n \ne 0$, значение $n^2$ будет строго больше 0, и, соответственно, $n^2+2$ будет строго больше 2.

Таким образом, для любого значения n выполняется неравенство $n^2 + 2 \ge 2$. А так как $2 > 0$, то и выражение $n^2 + 2$ всегда принимает положительное значение.

Это доказывает, что исходное выражение $(n-6)(n+8) - 2(n-25)$ всегда положительно.

Ответ: Упростив выражение до вида $n^2+2$, мы видим, что оно всегда положительно, так как $n^2 \ge 0$ для любого n, и следовательно $n^2+2 \ge 2 > 0$.