Номер 2.125, страница 73 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.125. Разложите многочлен на множители:

1) $ac^2-ad+c^3-cd-bc^2+bd;$

2) $mx^2+my^2-nx^2-ny^2+n-m;$

3) $am^2+cm^2-an+an^2-cn+cn^2;$

4) $xy^2-ny^2-mx+mn+m^2x-m^2n;$

5) $a^2b+a+ab^2+b+2ab+2;$

6) $x^2-xy+x-xy^2+y^3-y^2.$

1) Чтобы разложить на множители многочлен $ac^2-ad+c^3-cd-bc^2+bd$, перегруппируем его члены: $ac^2+c^3-bc^2-ad-cd+bd$. Теперь сгруппируем их: $(ac^2+c^3-bc^2) + (-ad-cd+bd)$. Вынесем общие множители из каждой группы: из первой скобки $c^2$, из второй $-d$. Получим $c^2(a+c-b) - d(a+c-b)$. Теперь вынесем общий для обоих слагаемых множитель $(a+c-b)$ за скобки, что приводит к выражению $(c^2-d)(a+c-b)$.

Ответ: $(c^2-d)(a+c-b)$.

2) В многочлене $mx^2+my^2-nx^2-ny^2+n-m$ сгруппируем члены, содержащие коэффициент $m$, и члены, содержащие коэффициент $n$: $(mx^2+my^2-m) + (-nx^2-ny^2+n)$. Вынесем $m$ из первой группы и $-n$ из второй: $m(x^2+y^2-1) - n(x^2+y^2-1)$. После вынесения общего множителя $(x^2+y^2-1)$ за скобки получаем $(m-n)(x^2+y^2-1)$.

Ответ: $(m-n)(x^2+y^2-1)$.

3) Рассмотрим многочлен $am^2+cm^2-an+an^2-cn+cn^2$. Для разложения на множители сгруппируем члены с коэффициентами $a$ и $c$: $(am^2-an+an^2) + (cm^2-cn+cn^2)$. Вынесем общий множитель из каждой группы: $a(m^2-n+n^2) + c(m^2-n+n^2)$. Затем вынесем общий множитель $(m^2-n+n^2)$ и получим итоговое выражение $(a+c)(m^2-n+n^2)$.

Ответ: $(a+c)(m^2-n+n^2)$.

4) Для разложения многочлена $xy^2-ny^2-mx+mn+m^2x-m^2n$ применим метод группировки. Сгруппируем члены в три группы: $(xy^2-ny^2) - (mx-mn) + (m^2x-m^2n)$. Вынесем общие множители из каждой группы: $y^2(x-n) - m(x-n) + m^2(x-n)$. Мы видим, что $(x-n)$ является общим множителем для всех трех слагаемых, поэтому выносим его за скобки: $(x-n)(y^2-m+m^2)$.

Ответ: $(x-n)(y^2-m+m^2)$.

5) Чтобы разложить на множители $a^2b+a+ab^2+b+2ab+2$, сгруппируем члены следующим образом: $(a^2b+a) + (ab^2+b) + (2ab+2)$. Вынесем общие множители из каждой группы: $a(ab+1) + b(ab+1) + 2(ab+1)$. Общим множителем для всех трех получившихся слагаемых является $(ab+1)$. Вынеся его за скобки, получаем $(a+b+2)(ab+1)$.

Ответ: $(a+b+2)(ab+1)$.

6) В многочлене $x^2-xy+x-xy^2+y^3-y^2$ сгруппируем первые три члена и последние три члена: $(x^2-xy+x) + (-xy^2+y^3-y^2)$. Вынесем $x$ из первой группы и $-y^2$ из второй, обращая внимание на знаки: $x(x-y+1) - y^2(x-y+1)$. Теперь вынесем за скобки общий множитель $(x-y+1)$ и получим окончательный результат: $(x-y^2)(x-y+1)$.

Ответ: $(x-y^2)(x-y+1)$.