Номер 2.131, страница 73 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.131. Разложите на множители трехчлен:

1) $x^2 + 5x + 6;$

2) $x^2 - 5x + 6;$

3) $x^2 - 8x + 15;$

4) $x^2 - 7x + 12;$

5) $x^2 - x - 12;$

6) $x^2 - 3x - 4;$

7) $x^2 - x - 6;$

8) $x^2 + 2x - 15.$

1) Чтобы разложить трехчлен $x^2 + 5x + 6$ на множители, нужно найти корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 5x + 6 = 0$.

Формула разложения квадратного трехчлена $ax^2 + bx + c$ на множители имеет вид $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — это корни уравнения. В данном случае коэффициент $a=1$, поэтому разложение будет иметь вид $(x - x_1)(x - x_2)$.

Для нахождения корней воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ сумма корней $x_1 + x_2 = -p$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = q$.

Для уравнения $x^2 + 5x + 6 = 0$ имеем:

$x_1 + x_2 = -5$

$x_1 \cdot x_2 = 6$

Методом подбора находим корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = -3$.

Таким образом, разложение на множители выглядит так:

$x^2 + 5x + 6 = (x - (-2))(x - (-3)) = (x + 2)(x + 3)$.

Ответ: $(x + 2)(x + 3)$

2) Чтобы разложить трехчлен $x^2 - 5x + 6$ на множители, найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$.

Воспользуемся теоремой Виета. Для корней $x_1$ и $x_2$ должны выполняться следующие равенства:

$x_1 + x_2 = -(-5) = 5$

$x_1 \cdot x_2 = 6$

Подбирая числа, находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Разложение на множители для приведенного квадратного трехчлена ($a=1$) имеет вид $(x - x_1)(x - x_2)$.

Следовательно, $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$.

Ответ: $(x - 2)(x - 3)$

3) Разложим на множители трехчлен $x^2 - 8x + 15$. Для этого решим уравнение $x^2 - 8x + 15 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна 8, а произведение равно 15:

$x_1 + x_2 = -(-8) = 8$

$x_1 \cdot x_2 = 15$

Легко видеть, что корни уравнения — это $x_1 = 3$ и $x_2 = 5$.

Используя формулу разложения $a(x - x_1)(x - x_2)$ и учитывая, что $a=1$, получаем:

$x^2 - 8x + 15 = (x - 3)(x - 5)$.

Ответ: $(x - 3)(x - 5)$

4) Для разложения трехчлена $x^2 - 7x + 12$ найдем корни уравнения $x^2 - 7x + 12 = 0$.

Применим теорему Виета:

$x_1 + x_2 = -(-7) = 7$

$x_1 \cdot x_2 = 12$

Корни, удовлетворяющие этим условиям: $x_1 = 3$ и $x_2 = 4$.

Подставляем корни в формулу разложения $(x - x_1)(x - x_2)$:

$x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4)$.

Ответ: $(x - 3)(x - 4)$

5) Разложим на множители трехчлен $x^2 - x - 12$. Для этого решим уравнение $x^2 - x - 12 = 0$.

По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -(-1) = 1$

$x_1 \cdot x_2 = -12$

Подбираем корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -3$. (Проверка: $4 + (-3) = 1$, $4 \cdot (-3) = -12$).

Разложение на множители будет иметь вид:

$x^2 - x - 12 = (x - 4)(x - (-3)) = (x - 4)(x + 3)$.

Ответ: $(x - 4)(x + 3)$

6) Для разложения трехчлена $x^2 - 3x - 4$ найдем корни уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$.

По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -(-3) = 3$

$x_1 \cdot x_2 = -4$

Корни уравнения: $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$. (Проверка: $4 + (-1) = 3$, $4 \cdot (-1) = -4$).

Выполняем разложение на множители:

$x^2 - 3x - 4 = (x - 4)(x - (-1)) = (x - 4)(x + 1)$.

Ответ: $(x - 4)(x + 1)$

7) Чтобы разложить на множители трехчлен $x^2 - x - 6$, решим уравнение $x^2 - x - 6 = 0$.

Воспользуемся теоремой Виета:

$x_1 + x_2 = -(-1) = 1$

$x_1 \cdot x_2 = -6$

Подбором находим корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.

Тогда разложение на множители будет:

$x^2 - x - 6 = (x - 3)(x - (-2)) = (x - 3)(x + 2)$.

Ответ: $(x - 3)(x + 2)$

8) Разложим на множители трехчлен $x^2 + 2x - 15$. Для этого найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 15 = 0$.

По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -2$

$x_1 \cdot x_2 = -15$

Корни уравнения: $x_1 = -5$ и $x_2 = 3$. (Проверка: $-5 + 3 = -2$, $-5 \cdot 3 = -15$).

Выполняем разложение на множители:

$x^2 + 2x - 15 = (x - (-5))(x - 3) = (x + 5)(x - 3)$.

Ответ: $(x + 5)(x - 3)$