Номер 2.134, страница 74 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.134. Докажите, что разность квадрата целого числа и самого числа четное число.

Пусть $n$ — произвольное целое число. Нам нужно доказать, что выражение $n^2 - n$ является четным числом. Четное число — это число, которое делится на 2 без остатка.

Способ 1: через разложение на множители.

Рассмотрим данное выражение и преобразуем его, вынеся общий множитель $n$ за скобки:

$n^2 - n = n(n-1)$

В результате мы получили произведение двух последовательных целых чисел: $(n-1)$ и $n$. Среди любых двух последовательных целых чисел одно обязательно будет четным, а другое — нечетным.

Рассмотрим два возможных случая:

1. Если число $n$ является четным, то оно делится на 2. Следовательно, и все произведение $n(n-1)$, в котором один из множителей ($n$) является четным, также будет делиться на 2, то есть будет четным числом.

2. Если число $n$ является нечетным, то предшествующее ему число $(n-1)$ будет четным (например, если $n=7$, то $n-1=6$). Произведение нечетного числа на четное всегда является четным числом. Следовательно, произведение $n(n-1)$, в котором один из множителей ($(n-1)$) является четным, также будет четным числом.

Таким образом, в обоих возможных случаях произведение $n(n-1)$ является четным числом. Это означает, что для любого целого числа $n$ разность $n^2 - n$ всегда является четным числом.

Способ 2: через анализ четности.

Любое целое число $n$ может быть либо четным, либо нечетным.

1. Пусть $n$ — четное число. Тогда его можно представить в виде $n = 2k$, где $k$ — некоторое целое число. Подставим это в наше выражение:

$n^2 - n = (2k)^2 - 2k = 4k^2 - 2k = 2(2k^2 - k)$

Так как $k$ — целое число, то $2k^2 - k$ также является целым числом. Выражение имеет вид $2 \times (\text{целое число})$, что по определению является четным числом.

2. Пусть $n$ — нечетное число. Тогда его можно представить в виде $n = 2k + 1$, где $k$ — некоторое целое число. Подставим это в наше выражение:

$n^2 - n = (2k + 1)^2 - (2k + 1) = (4k^2 + 4k + 1) - (2k + 1) = 4k^2 + 4k + 1 - 2k - 1 = 4k^2 + 2k = 2(2k^2 + k)$

Так как $k$ — целое число, то $2k^2 + k$ также является целым числом. Выражение имеет вид $2 \times (\text{целое число})$, что по определению является четным числом.

Мы рассмотрели все возможные случаи для целого числа $n$ и в каждом из них доказали, что разность $n^2 - n$ является четным числом.

Ответ: Утверждение доказано. Разность квадрата целого числа и самого этого числа всегда является четным числом, так как она представляет собой произведение двух последовательных целых чисел, одно из которых обязательно четное.