Номер 2.133, страница 73 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.133. Решите уравнение, разложив его левую часть на множители:

1) $x^2 - 4x - 5 = 0;$

2) $x^2 + 7x + 12 = 0;$

3) $x^2 - 11x + 10 = 0;$

4) $2x^2 - 3x + 1 = 0.$

1) $x^2-4x-5=0$

Для разложения левой части на множители необходимо найти корни квадратного трехчлена $x^2-4x-5$. Это приведенное квадратное уравнение, для которого можно применить теорему Виета. Сумма корней равна коэффициенту при $x$, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

$x_1 + x_2 = -(-4) = 4$

$x_1 \cdot x_2 = -5$

Подбором находим, что корнями являются числа 5 и -1.

(Также корни можно найти через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$. Тогда $x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 6}{2}$. Корни $x_1 = \frac{4+6}{2} = 5$ и $x_2 = \frac{4-6}{2} = -1$.)

Теперь разложим левую часть уравнения на множители, используя формулу $ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)$:

$x^2-4x-5 = 1 \cdot (x - 5)(x - (-1)) = (x-5)(x+1)$.

Уравнение принимает вид:

$(x-5)(x+1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$x-5=0$ или $x+1=0$

$x=5$ или $x=-1$

Ответ: -1; 5.

2) $x^2+7x+12=0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2+7x+12$, используя теорему Виета:

$x_1 + x_2 = -7$

$x_1 \cdot x_2 = 12$

Подбором находим корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = -4$.

(Через дискриминант: $D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$. Корни $x_{1,2} = \frac{-7 \pm \sqrt{1}}{2}$. Отсюда $x_1 = \frac{-7+1}{2} = -3$ и $x_2 = \frac{-7-1}{2} = -4$.)

Разложим левую часть уравнения на множители:

$x^2+7x+12 = (x - (-3))(x - (-4)) = (x+3)(x+4)$.

Уравнение принимает вид:

$(x+3)(x+4) = 0$

Отсюда следует, что:

$x+3=0$ или $x+4=0$

$x=-3$ или $x=-4$

Ответ: -4; -3.

3) $x^2-11x+10=0$

Воспользуемся теоремой Виета для нахождения корней:

$x_1 + x_2 = 11$

$x_1 \cdot x_2 = 10$

Легко видеть, что корнями являются числа 1 и 10.

(Через дискриминант: $D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 121 - 40 = 81$. Корни $x_{1,2} = \frac{11 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{11 \pm 9}{2}$. Отсюда $x_1 = \frac{11+9}{2} = 10$ и $x_2 = \frac{11-9}{2} = 1$.)

Разложим левую часть на множители:

$x^2-11x+10 = (x-1)(x-10)$.

Уравнение принимает вид:

$(x-1)(x-10) = 0$

Следовательно:

$x-1=0$ или $x-10=0$

$x=1$ или $x=10$

Ответ: 1; 10.

4) $2x^2-3x+1=0$

Это полное квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта. Коэффициенты: $a=2, b=-3, c=1$.

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3+1}{4} = \frac{4}{4} = 1$.

$x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3-1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Теперь разложим левую часть на множители по формуле $a(x-x_1)(x-x_2)$:

$2x^2-3x+1 = 2(x-1)(x-\frac{1}{2})$.

Чтобы избавиться от дроби, внесем множитель 2 во вторую скобку:

$2(x-1)(x-\frac{1}{2}) = (x-1)(2x - 2 \cdot \frac{1}{2}) = (x-1)(2x-1)$.

Уравнение принимает вид:

$(x-1)(2x-1) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

$x-1=0$ или $2x-1=0$

$x=1$ или $2x=1 \Rightarrow x=\frac{1}{2}$

Ответ: 0,5; 1.