Номер 2.135, страница 74 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.135. Докажите, что если $b+c=10$, то $(10a+b)\cdot(10a+c)=100a(a+1)+bc$. С помощью этой формулы вычислите:

1) 24·26;

2) 37·33;

3) 42·48;

4) 81·89.

Сначала докажем тождество. Для этого преобразуем левую и правую части равенства при условии, что $b+c=10$.

Левая часть: Раскроем скобки в выражении $(10a+b)(10a+c)$:

$(10a+b)(10a+c) = (10a)^2 + 10ac + 10ab + bc = 100a^2 + 10a(b+c) + bc$.

Так как по условию $b+c=10$, мы можем подставить это значение в полученное выражение:

$100a^2 + 10a(10) + bc = 100a^2 + 100a + bc$.

Правая часть: Раскроем скобки в выражении $100a(a+1)+bc$:

$100a(a+1)+bc = 100a^2 + 100a + bc$.

Поскольку левая и правая части равенства после преобразований совпали ($100a^2 + 100a + bc = 100a^2 + 100a + bc$), тождество доказано.

Теперь используем эту формулу для вычислений:

1) Для вычисления произведения $24 \cdot 26$ представим числа в виде $10a+b$ и $10a+c$. В данном случае первый десяток одинаков, значит $a=2$. Тогда $b=4$ и $c=6$. Проверим условие: $b+c = 4+6 = 10$. Условие выполняется. Применим доказанную формулу $100a(a+1)+bc$: $24 \cdot 26 = 100 \cdot 2 \cdot (2+1) + 4 \cdot 6 = 100 \cdot 2 \cdot 3 + 24 = 600 + 24 = 624$. Ответ: 624.

2) Для вычисления произведения $37 \cdot 33$ определим $a, b$ и $c$. Здесь $a=3$, $b=7$, $c=3$. Проверим условие: $b+c = 7+3 = 10$. Условие выполняется. Применим формулу: $37 \cdot 33 = 100 \cdot 3 \cdot (3+1) + 7 \cdot 3 = 100 \cdot 3 \cdot 4 + 21 = 1200 + 21 = 1221$. Ответ: 1221.

3) Для вычисления произведения $42 \cdot 48$ определим $a, b$ и $c$. Здесь $a=4$, $b=2$, $c=8$. Проверим условие: $b+c = 2+8 = 10$. Условие выполняется. Применим формулу: $42 \cdot 48 = 100 \cdot 4 \cdot (4+1) + 2 \cdot 8 = 100 \cdot 4 \cdot 5 + 16 = 2000 + 16 = 2016$. Ответ: 2016.

4) Для вычисления произведения $81 \cdot 89$ определим $a, b$ и $c$. Здесь $a=8$, $b=1$, $c=9$. Проверим условие: $b+c = 1+9 = 10$. Условие выполняется. Применим формулу: $81 \cdot 89 = 100 \cdot 8 \cdot (8+1) + 1 \cdot 9 = 100 \cdot 8 \cdot 9 + 9 = 7200 + 9 = 7209$. Ответ: 7209.