Номер 2.124, страница 72 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.124. Представьте многочлен в виде произведения:

1) $ax^2-bx^2-bx+ax-a+b;$

2) $ax^2+bx^2-bx-ax+a+b;$

3) $ax^2+bx^2+ax-cx^2+bx-cx;$

4) $ax^2+bx^2-bx-ax+cx^2-cx.$

1) $ax^2-bx^2-bx+ax-a+b$

Для разложения многочлена на множители используем метод группировки. Сгруппируем слагаемые, содержащие переменные $a$ и $b$:

$(ax^2 + ax - a) - (bx^2 + bx - b)$

Вынесем общий множитель $a$ из первой группы и $b$ из второй:

$a(x^2 + x - 1) - b(x^2 + x - 1)$

Теперь видно, что у обоих слагаемых есть общий множитель $(x^2 + x - 1)$. Вынесем его за скобки:

$(a - b)(x^2 + x - 1)$

Проверим другим способом группировки, по степеням $x$:

$(ax^2 - bx^2) + (ax - bx) - (a - b)$

$x^2(a - b) + x(a - b) - 1(a - b)$

$(a - b)(x^2 + x - 1)$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $(a - b)(x^2 + x - 1)$

2) $ax^2+bx^2-bx-ax+a+b$

Сгруппируем слагаемые по степеням переменной $x$:

$(ax^2 + bx^2) - (ax + bx) + (a + b)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(a + b) - x(a + b) + (a + b)$

Теперь общий множитель $(a + b)$ можно вынести за скобки:

$(a + b)(x^2 - x + 1)$

Альтернативно, можно сгруппировать по переменным $a$ и $b$:

$(ax^2 - ax + a) + (bx^2 - bx + b)$

$a(x^2 - x + 1) + b(x^2 - x + 1)$

$(a + b)(x^2 - x + 1)$

Ответ: $(a + b)(x^2 - x + 1)$

3) $ax^2+bx^2+ax-cx^2+bx-cx$

Сгруппируем слагаемые по степеням переменной $x$:

$(ax^2 + bx^2 - cx^2) + (ax + bx - cx)$

В первой группе вынесем за скобки $x^2$, а во второй — $x$:

$x^2(a + b - c) + x(a + b - c)$

Теперь мы видим общий множитель $(a + b - c)$. Вынесем его за скобки:

$(a + b - c)(x^2 + x)$

В выражении $(x^2 + x)$ можно вынести за скобки общий множитель $x$:

$(a + b - c)x(x + 1)$

Ответ: $(a + b - c)x(x + 1)$

4) $ax^2+bx^2-bx-ax+cx^2-cx$

Сгруппируем слагаемые по степеням переменной $x$:

$(ax^2 + bx^2 + cx^2) - (ax + bx + cx)$

Вынесем общие множители из каждой группы: $x^2$ из первой и $x$ из второй:

$x^2(a + b + c) - x(a + b + c)$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(a + b + c)$:

$(a + b + c)(x^2 - x)$

В выражении $(x^2 - x)$ можно вынести за скобки общий множитель $x$:

$(a + b + c)x(x - 1)$

Ответ: $(a + b + c)x(x - 1)$