Номер 2.120, страница 72 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.120. Разложите многочлен на множители:

1) $ax+ay+bx+by$;

2) $ax-ay+bx-by$;

3) $a^2+ab+ac+bc$;

4) $ax+ay+6x+6y$;

5) $1-bx-x+b$;

6) $ab+2b-2a-4$;

7) $x^2+xy+ax+ay$;

8) $am-an+m-n$;

9) $3x-3y+ax-ay$;

10) $ab-a^2+2a-2b$.

1) Для разложения многочлена $ax+ay+bx+by$ на множители применим метод группировки. Сгруппируем слагаемые попарно: $(ax+ay)+(bx+by)$. В первой группе вынесем за скобки общий множитель $a$, а во второй — $b$. Получим выражение: $a(x+y)+b(x+y)$. Теперь видно, что у обоих слагаемых есть общий множитель — скобка $(x+y)$. Вынесем его: $(x+y)(a+b)$.

Ответ: $(x+y)(a+b)$.

2) Сгруппируем слагаемые многочлена $ax-ay+bx-by$ следующим образом: $(ax-ay)+(bx-by)$. Вынесем из первой группы общий множитель $a$, а из второй — $b$. Получим: $a(x-y)+b(x-y)$. Теперь общим множителем является $(x-y)$. Выносим его за скобки: $(x-y)(a+b)$.

Ответ: $(x-y)(a+b)$.

3) В многочлене $a^2+ab+ac+bc$ сгруппируем первые два слагаемых и последние два: $(a^2+ab)+(ac+bc)$. Из первой группы вынесем за скобки $a$, а из второй — $c$. Это даст нам: $a(a+b)+c(a+b)$. Общий множитель $(a+b)$ выносим за скобку: $(a+b)(a+c)$.

Ответ: $(a+b)(a+c)$.

4) Для многочлена $ax+ay+6x+6y$ сгруппируем слагаемые: $(ax+ay)+(6x+6y)$. Из первой группы вынесем $a$, из второй — $6$: $a(x+y)+6(x+y)$. Теперь вынесем общий множитель $(x+y)$ за скобки: $(x+y)(a+6)$.

Ответ: $(x+y)(a+6)$.

5) В выражении $1-bx-x+b$ изменим порядок слагаемых для удобства группировки: $1-x+b-bx$. Сгруппируем их попарно: $(1-x)+(b-bx)$. Из второй группы вынесем за скобки общий множитель $b$: $(1-x)+b(1-x)$. Теперь вынесем общий множитель $(1-x)$: $(1-x)(1+b)$.

Ответ: $(1-x)(1+b)$.

6) Сгруппируем слагаемые в многочлене $ab+2b-2a-4$ так: $(ab+2b)+(-2a-4)$. Из первой группы вынесем $b$, а из второй — $-2$. Получим: $b(a+2)-2(a+2)$. Теперь общим множителем является $(a+2)$. Вынесем его за скобки: $(a+2)(b-2)$.

Ответ: $(a+2)(b-2)$.

7) Сгруппируем слагаемые многочлена $x^2+xy+ax+ay$: $(x^2+xy)+(ax+ay)$. В первой группе вынесем за скобки $x$, во второй — $a$: $x(x+y)+a(x+y)$. Вынесем общий множитель $(x+y)$ за скобки: $(x+y)(x+a)$.

Ответ: $(x+y)(x+a)$.

8) В многочлене $am-an+m-n$ сгруппируем слагаемые: $(am-an)+(m-n)$. Из первой группы вынесем $a$: $a(m-n)+(m-n)$. Представим вторую группу как $1 \cdot (m-n)$, чтобы явно видеть общий множитель: $a(m-n)+1(m-n)$. Вынесем $(m-n)$ за скобки: $(m-n)(a+1)$.

Ответ: $(m-n)(a+1)$.

9) Сгруппируем слагаемые многочлена $3x-3y+ax-ay$ следующим образом: $(3x-3y)+(ax-ay)$. Из первой группы вынесем $3$, из второй — $a$: $3(x-y)+a(x-y)$. Вынесем общий множитель $(x-y)$ за скобки: $(x-y)(3+a)$.

Ответ: $(x-y)(3+a)$.

10) В многочлене $ab-a^2+2a-2b$ перегруппируем слагаемые для удобства: $ab-2b-a^2+2a$. Сгруппируем их попарно: $(ab-2b)+(-a^2+2a)$. Из первой группы вынесем $b$, а из второй — $a$: $b(a-2)+a(-a+2)$. Заметим, что $(-a+2)$ можно записать как $-(a-2)$. Тогда выражение примет вид: $b(a-2)-a(a-2)$. Теперь вынесем общий множитель $(a-2)$ за скобки: $(a-2)(b-a)$.

Ответ: $(a-2)(b-a)$.