Номер 1, страница 45, часть 2 - гдз по физике 7 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Глава IV. Давление твёрдых тел, жидкостей и газов. Плавание тел. Параграф 21. Плавание тел - номер 1, страница 45.

Условие.

1. Сплошное тело плавает в воде (рис. 21.1). Обозначим $\text{V}$ — объём тела, $\rho$ — плотность вещества, из которого состоит тело, $\rho_{\text{В}}$ — плотность воды, $V_{\text{П}}$ — объём погружённой в воду части тела.

а) Перенесите рисунок в тетрадь и изобразите на нём силы, действующие на тело. Объясните, почему если тело плавает в жидкости, то действующие на это тело сила Архимеда и сила тяжести уравновешивают друг друга и поэтому равны по модулю.

б) Выразите действующую на тело силу тяжести $F_{\text{Т}}$ через $\rho$ и $\text{V}$.

в) Выразите действующую на тело силу Архимеда $F_{\text{А}}$ через $\rho_{\text{В}}$ и $V_{\text{П}}$.

г) Выведите соотношение между плотностью тела $\rho$, плотностью воды $\rho_{\text{В}}$, объёмом тела $\text{V}$ и объёмом погружённой части тела $V_{\text{П}}$.

д) Какой должна быть плотность тела, чтобы оно плавало на поверхности воды?

Рис. 21.1

Решение.

Дано:

$\text{V}$ - объём тела,
$\rho$ - плотность вещества, из которого состоит тело,
$\rho_в$ - плотность воды,
$V_п$ - объём погружённой в воду части тела.

Найти:

а) Изобразить силы, объяснить условие плавания.
б) Выразить $F_т$ через $\rho$ и $\text{V}$.
в) Выразить $F_А$ через $\rho_в$ и $V_п$.
г) Вывести соотношение между $\rho, \rho_в, V, V_п$.
д) Условие плавания тела на поверхности воды.

Решение:

а) На тело, плавающее в воде, действуют две силы: сила тяжести $F_т$, направленная вертикально вниз и приложенная к центру масс тела, и выталкивающая сила (сила Архимеда) $F_А$, направленная вертикально вверх и приложенная к центру масс погружённой части тела.
Поскольку тело плавает, оно находится в состоянии покоя, то есть в равновесии. Согласно первому закону Ньютона, если тело находится в состоянии покоя, векторная сумма всех действующих на него сил равна нулю. В данном случае на тело по вертикали действуют только сила тяжести и сила Архимеда. Так как они направлены в противоположные стороны, для равновесия необходимо, чтобы их модули были равны.

Ответ: На тело действуют сила тяжести $F_т$ (вниз) и сила Архимеда $F_А$ (вверх). Тело плавает, значит находится в равновесии, поэтому равнодействующая всех сил равна нулю. Отсюда следует, что $F_А = F_т$.

б) Сила тяжести $F_т$ определяется как произведение массы тела $\text{m}$ на ускорение свободного падения $\text{g}$. Массу тела можно выразить через его плотность $\rho$ и объём $\text{V}$ по формуле $m = \rho V$. Таким образом, сила тяжести равна $F_т = mg = \rho V g$.

Ответ: $F_т = \rho V g$.

в) Сила Архимеда $F_А$ равна весу вытесненной жидкости. Вес вытесненной жидкости равен произведению массы вытесненной жидкости $m_в$ на ускорение свободного падения $\text{g}$. Масса вытесненной жидкости равна произведению её плотности $\rho_в$ на объём погружённой части тела $V_п$: $m_в = \rho_в V_п$. Таким образом, сила Архимеда равна $F_А = m_в g = \rho_в V_п g$.

Ответ: $F_А = \rho_в V_п g$.

г) Из условия плавания тела (пункт а) следует, что сила тяжести равна силе Архимеда: $F_т = F_А$. Подставим выражения для этих сил, полученные в пунктах б) и в):

$\rho V g = \rho_в V_п g$

Сократив обе части уравнения на $\text{g}$, получим искомое соотношение:

$\rho V = \rho_в V_п$

Это соотношение также можно записать в виде пропорции: $\frac{\rho}{\rho_в} = \frac{V_п}{V}$.

Ответ: $\rho V = \rho_в V_п$.

д) Тело будет плавать на поверхности воды, если оно не тонет. Условие плавания тела в жидкости заключается в том, что действующая на него сила тяжести должна быть меньше или равна максимальной выталкивающей силе. Максимальная выталкивающая сила $F_{А, макс}$ достигается при полном погружении тела в воду, то есть когда $V_п = V$.

$F_т \le F_{А, макс}$

$\rho V g \le \rho_в V g$

Сократив на $\text{Vg}$ (где $V>0, g>0$), получим:

$\rho \le \rho_в$

Таким образом, чтобы тело плавало на поверхности воды, его плотность должна быть меньше или равна плотности воды. Если плотность тела строго меньше плотности воды ($\rho < \rho_в$), оно будет плавать, частично погрузившись в воду. Если плотность тела равна плотности воды ($\rho = \rho_в$), оно будет плавать, полностью погрузившись в воду (находиться в безразличном равновесии на любой глубине).

Ответ: Плотность тела должна быть меньше или равна плотности воды: $\rho \le \rho_в$.