Номер 19.36, страница 68 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 19. Импульс тела. Закон сохранения импульса. Глава 2. Движение и взаимодействие тел - номер 19.36, страница 68.

19.36 [д. 79] По данным предыдущей задачи определите, какую минимальную скорость и в каком направлении по горизонтали надо сообщить пакету, чтобы кабина остановилась; скорость кабины увеличилась в 1,5 раза.

Для решения задачи воспользуемся данными из предыдущей задачи (№19.35):

Дано:

Масса кабины с человеком, $M = 180$ кг
Масса пакета, $m = 5$ кг
Начальная скорость кабины, $v_к = 1$ м/с

Найти:

$u_п$ — минимальную скорость и направление, которые надо сообщить пакету, чтобы:
1) кабина остановилась ($v'_{к1} = 0$);
2) скорость кабины увеличилась в 1,5 раза ($v'_{к2} = 1.5 v_к$).

Решение:

Рассмотрим систему «кабина с человеком и пакет» как замкнутую. В горизонтальном направлении внешние силы на систему не действуют, поэтому для нее применим закон сохранения импульса. Выберем ось OX, сонаправленную с начальной скоростью движения кабины.

Начальный импульс системы в проекции на ось OX равен:

$p_i = (M+m)v_к$

Пусть пакету сообщили скорость $u_п$ относительно кабины. Тогда конечная скорость кабины станет $v'_к$, а абсолютная скорость пакета (относительно земли) будет $v'_п = v'_к + u_п$.

Конечный импульс системы в проекции на ось OX:

$p_f = Mv'_к + mv'_п = Mv'_к + m(v'_к + u_п) = (M+m)v'_к + mu_п$

Согласно закону сохранения импульса $p_i = p_f$:

$(M+m)v_к = (M+m)v'_к + mu_п$

Из этого уравнения выразим скорость $u_п$, которую необходимо сообщить пакету относительно кабины:

$mu_п = (M+m)(v_к - v'_к)$

$u_п = \frac{M+m}{m}(v_к - v'_к)$

Упоминание "минимальной" скорости в условии означает, что движение происходит строго по горизонтали, без вертикальной составляющей скорости.

чтобы кабина остановилась;

В этом случае конечная скорость кабины $v'_{к1} = 0$. Подставим это значение в выведенную формулу:

$u_{п1} = \frac{M+m}{m}(v_к - 0) = \frac{M+m}{m}v_к$

Подставим числовые значения:

$u_{п1} = \frac{180 \text{ кг} + 5 \text{ кг}}{5 \text{ кг}} \cdot 1 \text{ м/с} = \frac{185}{5} \text{ м/с} = 37 \text{ м/с}$

Так как значение $u_{п1}$ получилось положительным, то вектор этой скорости совпадает по направлению с осью OX, то есть направлен в сторону первоначального движения кабины.

Ответ: чтобы кабина остановилась, пакету надо сообщить скорость 37 м/с в направлении первоначального движения кабины.

скорость кабины увеличилась в 1,5 раза.

В этом случае конечная скорость кабины $v'_{к2} = 1.5 \cdot v_к = 1.5 \cdot 1 \text{ м/с} = 1.5 \text{ м/с}$. Подставим это значение в формулу для $u_п$:

$u_{п2} = \frac{M+m}{m}(v_к - 1.5v_к) = \frac{M+m}{m}(-0.5v_к)$

Подставим числовые значения:

$u_{п2} = \frac{180 \text{ кг} + 5 \text{ кг}}{5 \text{ кг}} \cdot (-0.5 \cdot 1 \text{ м/с}) = 37 \cdot (-0.5) \text{ м/с} = -18.5 \text{ м/с}$

Знак "минус" показывает, что вектор скорости $u_{п2}$ направлен против оси OX, то есть в сторону, противоположную первоначальному движению кабины.

Ответ: чтобы скорость кабины увеличилась в 1,5 раза, пакету надо сообщить скорость 18,5 м/с в направлении, противоположном первоначальному движению кабины.