Номер 52.24, страница 186 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 52. Расчёт сопротивления проводников. Глава 7. Электрические явления - номер 52.24, страница 186.

52.24 [1336] Какая площадь поперечного сечения должна быть у железной проволоки длиной 10 м, чтобы её сопротивление было таким же, как у никелиновой проволоки длиной 1 м с площадью поперечного сечения $0,2 \text{ мм}^2$?

Дано:

$l_1 = 10$ м (длина железной проволоки)

$l_2 = 1$ м (длина никелиновой проволоки)

$S_2 = 0,2$ мм² (площадь поперечного сечения никелиновой проволоки)

$R_1 = R_2$ (условие равенства сопротивлений)

Табличные значения удельных сопротивлений:

$\rho_1 = 0,1 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$ (железо)

$\rho_2 = 0,4 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$ (никелин)

Перевод в систему СИ:

$S_2 = 0,2 \text{ мм}^2 = 0,2 \cdot (10^{-3} \text{ м})^2 = 0,2 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2 = 2 \cdot 10^{-7} \text{ м}^2$

$\rho_1 = 0,1 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}} = 0,1 \frac{\text{Ом} \cdot (10^{-3} \text{ м})^2}{\text{м}} = 0,1 \cdot 10^{-6} \text{ Ом} \cdot \text{м} = 1 \cdot 10^{-7} \text{ Ом} \cdot \text{м}$

$\rho_2 = 0,4 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}} = 0,4 \frac{\text{Ом} \cdot (10^{-3} \text{ м})^2}{\text{м}} = 0,4 \cdot 10^{-6} \text{ Ом} \cdot \text{м} = 4 \cdot 10^{-7} \text{ Ом} \cdot \text{м}$

Найти:

$S_1$ - ?

Решение:

Сопротивление проводника вычисляется по формуле: $R = \rho \frac{l}{S}$, где $\rho$ - удельное электрическое сопротивление материала, $l$ - длина проводника, а $S$ - площадь его поперечного сечения.

Запишем формулы сопротивления для железной (индекс 1) и никелиновой (индекс 2) проволок: $R_1 = \rho_1 \frac{l_1}{S_1}$ и $R_2 = \rho_2 \frac{l_2}{S_2}$.

Согласно условию задачи, сопротивления проволок равны, $R_1 = R_2$. Следовательно, можно приравнять выражения для сопротивлений: $\rho_1 \frac{l_1}{S_1} = \rho_2 \frac{l_2}{S_2}$.

Из этого соотношения выразим искомую величину - площадь поперечного сечения железной проволоки $S_1$: $S_1 = \frac{\rho_1 \cdot l_1 \cdot S_2}{\rho_2 \cdot l_2}$.

Подставим в формулу значения, переведенные в систему СИ:

$S_1 = \frac{(1 \cdot 10^{-7} \text{ Ом} \cdot \text{м}) \cdot 10 \text{ м} \cdot (2 \cdot 10^{-7} \text{ м}^2)}{(4 \cdot 10^{-7} \text{ Ом} \cdot \text{м}) \cdot 1 \text{ м}} = \frac{1 \cdot 10 \cdot 2}{4} \cdot \frac{10^{-7} \cdot 10^{-7}}{10^{-7}} \text{ м}^2$

$S_1 = 5 \cdot 10^{-7} \text{ м}^2$.

Для удобства восприятия переведем результат обратно в квадратные миллиметры: $S_1 = 5 \cdot 10^{-7} \text{ м}^2 = 5 \cdot 10^{-7} \cdot (10^3 \text{ мм})^2 = 5 \cdot 10^{-7} \cdot 10^6 \text{ мм}^2 = 0,5 \text{ мм}^2$.

Ответ: площадь поперечного сечения железной проволоки должна быть 0,5 мм².