Номер 52.23, страница 186 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 52. Расчёт сопротивления проводников. Глава 7. Электрические явления - номер 52.23, страница 186.

52.23 [1335] Какой длины надо взять железную проволоку с площадью поперечного сечения $2 \text{ мм}^2$, чтобы её сопротивление было таким же, как сопротивление алюминиевой проволоки длиной $1 \text{ км}$ с площадью поперечного сечения $4 \text{ мм}^2$?

Дано:

Площадь поперечного сечения железной проволоки: $S_ж = 2 \text{ мм}^2$
Длина алюминиевой проволоки: $L_а = 1 \text{ км}$
Площадь поперечного сечения алюминиевой проволоки: $S_а = 4 \text{ мм}^2$
Условие равенства сопротивлений: $R_ж = R_а$

Перевод данных в систему СИ и табличные значения:

$S_ж = 2 \text{ мм}^2 = 2 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2$
$L_а = 1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$
$S_а = 4 \text{ мм}^2 = 4 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2$
Удельное сопротивление железа: $\rho_ж \approx 0.1 \cdot 10^{-6} \text{ Ом} \cdot \text{м}$
Удельное сопротивление алюминия: $\rho_а \approx 0.028 \cdot 10^{-6} \text{ Ом} \cdot \text{м}$

Найти:

Длину железной проволоки, $L_ж$.

Решение:

Сопротивление проводника определяется по формуле:

$R = \rho \frac{L}{S}$

где $\rho$ — удельное электрическое сопротивление материала, $L$ — длина проводника, а $S$ — площадь его поперечного сечения.

Запишем выражения для сопротивления железной ($R_ж$) и алюминиевой ($R_а$) проволок:

$R_ж = \rho_ж \frac{L_ж}{S_ж}$

$R_а = \rho_а \frac{L_а}{S_а}$

По условию задачи сопротивления проволок равны ($R_ж = R_а$), поэтому мы можем приравнять правые части выражений:

$\rho_ж \frac{L_ж}{S_ж} = \rho_а \frac{L_а}{S_а}$

Из этого равенства выразим искомую длину железной проволоки $L_ж$:

$L_ж = L_а \cdot \frac{\rho_а}{\rho_ж} \cdot \frac{S_ж}{S_а}$

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу:

$L_ж = 1000 \text{ м} \cdot \frac{0.028 \cdot 10^{-6} \text{ Ом} \cdot \text{м}}{0.1 \cdot 10^{-6} \text{ Ом} \cdot \text{м}} \cdot \frac{2 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2}{4 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2}$

Проведем вычисления, сократив одинаковые множители:

$L_ж = 1000 \cdot \frac{0.028}{0.1} \cdot \frac{2}{4} = 1000 \cdot 0.28 \cdot 0.5 = 140 \text{ м}$

Ответ: надо взять железную проволоку длиной 140 м.