Номер 52.20, страница 186 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 52. Расчёт сопротивления проводников. Глава 7. Электрические явления - номер 52.20, страница 186.

52.20 [1329] Какой площади поперечного сечения нужно взять кусок стальной проволоки длиной $l$, чтобы её сопротивление было равно сопротивлению алюминиевой проволоки длиной $2l$ с площадью поперечного сечения $0,75 \text{ мм}^2$?

Дано:

$l_1 = l$ — длина стальной проволоки
$l_2 = 2l$ — длина алюминиевой проволоки
$S_2 = 0.75 \text{ мм}^2$ — площадь поперечного сечения алюминиевой проволоки
$R_1 = R_2$ — сопротивления проволок равны
$\rho_1 = \rho_{\text{стали}} \approx 0.12 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$ — удельное электрическое сопротивление стали (справочное значение)
$\rho_2 = \rho_{\text{алюминия}} \approx 0.028 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$ — удельное электрическое сопротивление алюминия (справочное значение)

Перевод в систему СИ:
$S_2 = 0.75 \text{ мм}^2 = 0.75 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2$
$\rho_1 \approx 0.12 \cdot 10^{-6} \text{ Ом} \cdot \text{м}$
$\rho_2 \approx 0.028 \cdot 10^{-6} \text{ Ом} \cdot \text{м}$

Найти:

$S_1$ — площадь поперечного сечения стальной проволоки.

Решение:

Сопротивление проводника определяется по формуле:

$R = \rho \frac{l}{S}$

где $\rho$ — удельное сопротивление материала, $l$ — длина проводника, $S$ — площадь поперечного сечения.

Запишем выражения для сопротивления стальной ($R_1$) и алюминиевой ($R_2$) проволок:

$R_1 = \rho_1 \frac{l_1}{S_1}$

$R_2 = \rho_2 \frac{l_2}{S_2}$

Согласно условию задачи, их сопротивления равны: $R_1 = R_2$.

Следовательно, мы можем приравнять правые части уравнений:

$\rho_1 \frac{l_1}{S_1} = \rho_2 \frac{l_2}{S_2}$

Подставим в это равенство данные из условия задачи: $l_1 = l$ и $l_2 = 2l$.

$\rho_1 \frac{l}{S_1} = \rho_2 \frac{2l}{S_2}$

Длину $l$ можно сократить, так как она присутствует в обеих частях уравнения:

$\frac{\rho_1}{S_1} = \frac{2\rho_2}{S_2}$

Теперь выразим искомую величину $S_1$ (площадь поперечного сечения стальной проволоки):

$S_1 = \frac{\rho_1 S_2}{2\rho_2}$

Подставим числовые значения. Для удобства можно проводить вычисления, используя площадь в $\text{мм}^2$ и удельное сопротивление в $\frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$, так как единицы $\frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$ сократятся.

$S_1 = \frac{0.12 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}} \cdot 0.75 \text{ мм}^2}{2 \cdot 0.028 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}}$

$S_1 = \frac{0.09}{0.056} \text{ мм}^2 \approx 1.607 \text{ мм}^2$

Округлим результат до двух значащих цифр, как в исходных данных.

$S_1 \approx 1.6 \text{ мм}^2$

Ответ: чтобы сопротивление стальной проволоки было равно сопротивлению алюминиевой, ее площадь поперечного сечения должна быть равна $1.6 \text{ мм}^2$.