Номер 52.14, страница 185 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 52. Расчёт сопротивления проводников. Глава 7. Электрические явления - номер 52.14, страница 185.

52.14* [1307*] Алюминиевая и медная проволоки имеют равные массы и одинаковые площади поперечных сечений. Какая из проволок имеет большее сопротивление?

Дано:

$m_а = m_м = m$ (массы алюминиевой и медной проволок равны)
$S_а = S_м = S$ (площади поперечных сечений проволок равны)
Удельное сопротивление алюминия $\rho_а = 2.8 \cdot 10^{-8}$ Ом·м
Удельное сопротивление меди $\rho_м = 1.7 \cdot 10^{-8}$ Ом·м
Плотность алюминия $d_а = 2700$ кг/м³
Плотность меди $d_м = 8960$ кг/м³

Найти:

Какая из проволок имеет большее сопротивление, т.е. сравнить $R_а$ и $R_м$.

Решение:

Сопротивление проводника определяется формулой: $R = \rho \frac{l}{S}$ где $\rho$ — удельное сопротивление материала, $l$ — длина проводника, $S$ — площадь его поперечного сечения.

Запишем формулы сопротивления для алюминиевой ($R_а$) и медной ($R_м$) проволок: $R_а = \rho_а \frac{l_а}{S}$ $R_м = \rho_м \frac{l_м}{S}$

Масса проволоки может быть выражена через ее плотность $d$, длину $l$ и площадь поперечного сечения $S$: $m = d \cdot V = d \cdot l \cdot S$

Из этой формулы выразим длину каждой проволоки. Так как по условию массы $m$ и площади сечения $S$ у проволок одинаковы: $l_а = \frac{m}{d_а \cdot S}$ $l_м = \frac{m}{d_м \cdot S}$

Теперь подставим выражения для длин в формулы для сопротивлений: $R_а = \rho_а \frac{1}{S} \cdot \left(\frac{m}{d_а \cdot S}\right) = \frac{\rho_а \cdot m}{d_а \cdot S^2}$ $R_м = \rho_м \frac{1}{S} \cdot \left(\frac{m}{d_м \cdot S}\right) = \frac{\rho_м \cdot m}{d_м \cdot S^2}$

Чтобы сравнить сопротивления, найдем их отношение: $\frac{R_а}{R_м} = \frac{\frac{\rho_а \cdot m}{d_а \cdot S^2}}{\frac{\rho_м \cdot m}{d_м \cdot S^2}}$

Сократив одинаковые величины $m$ и $S^2$, получим: $\frac{R_а}{R_м} = \frac{\rho_а \cdot d_м}{\rho_м \cdot d_а}$

Подставим табличные значения удельных сопротивлений и плотностей для алюминия и меди: $\frac{R_а}{R_м} = \frac{2.8 \cdot 10^{-8} \text{ Ом·м} \cdot 8960 \text{ кг/м³}}{1.7 \cdot 10^{-8} \text{ Ом·м} \cdot 2700 \text{ кг/м³}} = \frac{2.8 \cdot 8960}{1.7 \cdot 2700} = \frac{25088}{4590} \approx 5.46$

Поскольку отношение $\frac{R_а}{R_м} \approx 5.46 > 1$, то сопротивление алюминиевой проволоки $R_а$ больше сопротивления медной $R_м$.

Ответ: сопротивление алюминиевой проволоки больше сопротивления медной примерно в 5.5 раз.