Номер 52.17, страница 186 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 52. Расчёт сопротивления проводников. Глава 7. Электрические явления - номер 52.17, страница 186.

52.17 [1302]а) Площади поперечных сечений и длины нихромовой и железной проволок одинаковы. Какая из них обладает большим сопротивлением? Во сколько раз?

б) Площади поперечных сечений двух стальных проволок одинаковой длины равны $0,05 \text{ мм}^2$ и $1 \text{ мм}^2$. Какая из них обладает меньшим сопротивлением? Во сколько раз?

а) Дано:

Для нихромовой и железной проволок:
Длины одинаковы: $l_н = l_ж = l$
Площади поперечных сечений одинаковы: $S_н = S_ж = S$
Удельное сопротивление нихрома (из таблицы): $\rho_н \approx 1.1 \frac{Ом \cdot мм^2}{м}$
Удельное сопротивление железа (из таблицы): $\rho_ж \approx 0.1 \frac{Ом \cdot мм^2}{м}$

Найти:

Какая проволока обладает большим сопротивлением? Во сколько раз?

Решение:

Сопротивление проводника вычисляется по формуле: $R = \rho \frac{l}{S}$ где $\rho$ — удельное сопротивление материала, $l$ — длина проводника, а $S$ — площадь его поперечного сечения.

Запишем выражения для сопротивления нихромовой ($R_н$) и железной ($R_ж$) проволок: $R_н = \rho_н \frac{l_н}{S_н}$
$R_ж = \rho_ж \frac{l_ж}{S_ж}$

Так как по условию задачи длины и площади поперечных сечений проволок одинаковы ($l_н = l_ж = l$ и $S_н = S_ж = S$), то сопротивление каждой проволоки прямо пропорционально ее удельному сопротивлению: $R_н = \rho_н \frac{l}{S}$
$R_ж = \rho_ж \frac{l}{S}$

Сравним удельные сопротивления материалов: $\rho_н = 1.1 \frac{Ом \cdot мм^2}{м}$
$\rho_ж = 0.1 \frac{Ом \cdot мм^2}{м}$

Поскольку $\rho_н > \rho_ж$, то и сопротивление нихромовой проволоки больше сопротивления железной: $R_н > R_ж$.

Чтобы определить, во сколько раз сопротивление нихромовой проволоки больше, найдем отношение их сопротивлений: $\frac{R_н}{R_ж} = \frac{\rho_н \frac{l}{S}}{\rho_ж \frac{l}{S}} = \frac{\rho_н}{\rho_ж}$

Подставим числовые значения удельных сопротивлений: $\frac{R_н}{R_ж} = \frac{1.1}{0.1} = 11$

Ответ: большим сопротивлением обладает нихромовая проволока; ее сопротивление в 11 раз больше, чем у железной.

б) Дано:

Для двух стальных проволок:
Длины одинаковы: $l_1 = l_2 = l$
Площадь поперечного сечения первой проволоки: $S_1 = 0.05 \text{ мм}^2$
Площадь поперечного сечения второй проволоки: $S_2 = 1 \text{ мм}^2$
Материал одинаковый (сталь), следовательно, удельные сопротивления равны: $\rho_1 = \rho_2 = \rho_{ст}$

Перевод в СИ:
$S_1 = 0.05 \text{ мм}^2 = 0.05 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2$
$S_2 = 1 \text{ мм}^2 = 1 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2$

Найти:

Какая проволока обладает меньшим сопротивлением? Во сколько раз?

Решение:

Формула для расчета сопротивления проводника: $R = \rho \frac{l}{S}$

Запишем формулы для сопротивления первой ($R_1$) и второй ($R_2$) проволок: $R_1 = \rho_{ст} \frac{l_1}{S_1}$
$R_2 = \rho_{ст} \frac{l_2}{S_2}$

Поскольку проволоки сделаны из одного материала ($\rho_{ст}$) и имеют одинаковую длину ($l$), их сопротивление обратно пропорционально площади поперечного сечения ($R \propto \frac{1}{S}$). Это означает, что проволока с большей площадью поперечного сечения будет иметь меньшее сопротивление.

Сравним площади сечений: $S_2 = 1 \text{ мм}^2$, а $S_1 = 0.05 \text{ мм}^2$. Так как $S_2 > S_1$, то сопротивление второй проволоки меньше сопротивления первой: $R_2 < R_1$.

Чтобы определить, во сколько раз сопротивление второй проволоки меньше, найдем отношение большего сопротивления к меньшему: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{\rho_{ст} \frac{l}{S_1}}{\rho_{ст} \frac{l}{S_2}} = \frac{S_2}{S_1}$

Подставим числовые значения площадей (можно использовать значения в мм², так как единицы измерения сократятся): $\frac{R_1}{R_2} = \frac{1 \text{ мм}^2}{0.05 \text{ мм}^2} = 20$

Ответ: меньшим сопротивлением обладает проволока с площадью поперечного сечения $1 \text{ мм}^2$; ее сопротивление в 20 раз меньше, чем у проволоки с сечением $0.05 \text{ мм}^2$.