Страница 186 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

52.17 [1302]а) Площади поперечных сечений и длины нихромовой и железной проволок одинаковы. Какая из них обладает большим сопротивлением? Во сколько раз?

б) Площади поперечных сечений двух стальных проволок одинаковой длины равны $0,05 \text{ мм}^2$ и $1 \text{ мм}^2$. Какая из них обладает меньшим сопротивлением? Во сколько раз?

а) Дано:

Для нихромовой и железной проволок:
Длины одинаковы: $l_н = l_ж = l$
Площади поперечных сечений одинаковы: $S_н = S_ж = S$
Удельное сопротивление нихрома (из таблицы): $\rho_н \approx 1.1 \frac{Ом \cdot мм^2}{м}$
Удельное сопротивление железа (из таблицы): $\rho_ж \approx 0.1 \frac{Ом \cdot мм^2}{м}$

Найти:

Какая проволока обладает большим сопротивлением? Во сколько раз?

Решение:

Сопротивление проводника вычисляется по формуле: $R = \rho \frac{l}{S}$ где $\rho$ — удельное сопротивление материала, $l$ — длина проводника, а $S$ — площадь его поперечного сечения.

Запишем выражения для сопротивления нихромовой ($R_н$) и железной ($R_ж$) проволок: $R_н = \rho_н \frac{l_н}{S_н}$
$R_ж = \rho_ж \frac{l_ж}{S_ж}$

Так как по условию задачи длины и площади поперечных сечений проволок одинаковы ($l_н = l_ж = l$ и $S_н = S_ж = S$), то сопротивление каждой проволоки прямо пропорционально ее удельному сопротивлению: $R_н = \rho_н \frac{l}{S}$
$R_ж = \rho_ж \frac{l}{S}$

Сравним удельные сопротивления материалов: $\rho_н = 1.1 \frac{Ом \cdot мм^2}{м}$
$\rho_ж = 0.1 \frac{Ом \cdot мм^2}{м}$

Поскольку $\rho_н > \rho_ж$, то и сопротивление нихромовой проволоки больше сопротивления железной: $R_н > R_ж$.

Чтобы определить, во сколько раз сопротивление нихромовой проволоки больше, найдем отношение их сопротивлений: $\frac{R_н}{R_ж} = \frac{\rho_н \frac{l}{S}}{\rho_ж \frac{l}{S}} = \frac{\rho_н}{\rho_ж}$

Подставим числовые значения удельных сопротивлений: $\frac{R_н}{R_ж} = \frac{1.1}{0.1} = 11$

Ответ: большим сопротивлением обладает нихромовая проволока; ее сопротивление в 11 раз больше, чем у железной.

б) Дано:

Для двух стальных проволок:
Длины одинаковы: $l_1 = l_2 = l$
Площадь поперечного сечения первой проволоки: $S_1 = 0.05 \text{ мм}^2$
Площадь поперечного сечения второй проволоки: $S_2 = 1 \text{ мм}^2$
Материал одинаковый (сталь), следовательно, удельные сопротивления равны: $\rho_1 = \rho_2 = \rho_{ст}$

Перевод в СИ:
$S_1 = 0.05 \text{ мм}^2 = 0.05 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2$
$S_2 = 1 \text{ мм}^2 = 1 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2$

Найти:

Какая проволока обладает меньшим сопротивлением? Во сколько раз?

Решение:

Формула для расчета сопротивления проводника: $R = \rho \frac{l}{S}$

Запишем формулы для сопротивления первой ($R_1$) и второй ($R_2$) проволок: $R_1 = \rho_{ст} \frac{l_1}{S_1}$
$R_2 = \rho_{ст} \frac{l_2}{S_2}$

Поскольку проволоки сделаны из одного материала ($\rho_{ст}$) и имеют одинаковую длину ($l$), их сопротивление обратно пропорционально площади поперечного сечения ($R \propto \frac{1}{S}$). Это означает, что проволока с большей площадью поперечного сечения будет иметь меньшее сопротивление.

Сравним площади сечений: $S_2 = 1 \text{ мм}^2$, а $S_1 = 0.05 \text{ мм}^2$. Так как $S_2 > S_1$, то сопротивление второй проволоки меньше сопротивления первой: $R_2 < R_1$.

Чтобы определить, во сколько раз сопротивление второй проволоки меньше, найдем отношение большего сопротивления к меньшему: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{\rho_{ст} \frac{l}{S_1}}{\rho_{ст} \frac{l}{S_2}} = \frac{S_2}{S_1}$

Подставим числовые значения площадей (можно использовать значения в мм², так как единицы измерения сократятся): $\frac{R_1}{R_2} = \frac{1 \text{ мм}^2}{0.05 \text{ мм}^2} = 20$

Ответ: меньшим сопротивлением обладает проволока с площадью поперечного сечения $1 \text{ мм}^2$; ее сопротивление в 20 раз меньше, чем у проволоки с сечением $0.05 \text{ мм}^2$.

52.18 [1305] Во сколько раз сопротивление стальной проволоки длиной 1 м больше сопротивления железной проволоки с такой же длиной и такой же площадью поперечного сечения?

Дано:

Найти:

Решение:

Электрическое сопротивление проводника определяется по формуле:

$R = \rho \frac{l}{S}$

где $\rho$ — удельное электрическое сопротивление материала, $l$ — длина проводника, а $S$ — площадь его поперечного сечения.

Запишем эту формулу для стальной проволоки:

$R_с = \rho_с \frac{l_с}{S_с}$

И для железной проволоки:

$R_ж = \rho_ж \frac{l_ж}{S_ж}$

Чтобы найти, во сколько раз сопротивление стальной проволоки больше сопротивления железной, составим их отношение:

$\frac{R_с}{R_ж} = \frac{\rho_с \frac{l_с}{S_с}}{\rho_ж \frac{l_ж}{S_ж}}$

По условию задачи, длины проволок равны ($l_с = l_ж = l$), и площади их поперечных сечений также равны ($S_с = S_ж = S$). Подставим эти условия в полученное отношение и упростим его:

$\frac{R_с}{R_ж} = \frac{\rho_с \frac{l}{S}}{\rho_ж \frac{l}{S}} = \frac{\rho_с}{\rho_ж}$

Как видим, отношение сопротивлений при одинаковых геометрических размерах проводников равно отношению их удельных сопротивлений. Подставим числовые значения:

$\frac{R_с}{R_ж} = \frac{0.12 \cdot 10^{-6} \text{ Ом} \cdot \text{м}}{0.10 \cdot 10^{-6} \text{ Ом} \cdot \text{м}} = \frac{0.12}{0.10} = 1.2$

Ответ: сопротивление стальной проволоки больше сопротивления железной проволоки в 1,2 раза.

52.19* [1311*] После протягивания проволоки через волочильный станок её длина увеличилась в 4 раза. Каким стало сопротивление этой проволоки, если до волочения её сопротивление было 20 Ом?

Дано

Начальное сопротивление проволоки $R_1 = 20 \text{ Ом}$

Увеличение длины проволоки: $l_2 = 4l_1$, где $l_1$ и $l_2$ – начальная и конечная длина проволоки.

Найти:

Конечное сопротивление проволоки $R_2$.

Решение

Сопротивление проводника определяется по формуле:

$R = \rho \frac{l}{S}$

где $\rho$ – удельное сопротивление материала, $l$ – длина проводника, $S$ – площадь его поперечного сечения.

До волочения сопротивление проволоки было:

$R_1 = \rho \frac{l_1}{S_1}$

После волочения сопротивление стало:

$R_2 = \rho \frac{l_2}{S_2}$

При протягивании проволоки её объём не изменяется, так как материал не добавляется и не убирается, а только меняет форму. Объём проволоки $V$ равен произведению её длины на площадь поперечного сечения:

$V_1 = V_2$

$l_1 S_1 = l_2 S_2$

Отсюда можно выразить, как изменилась площадь поперечного сечения. Учитывая, что по условию $l_2 = 4l_1$, получаем:

$S_2 = S_1 \frac{l_1}{l_2} = S_1 \frac{l_1}{4l_1} = \frac{S_1}{4}$

Таким образом, при увеличении длины в 4 раза площадь поперечного сечения уменьшилась в 4 раза.

Теперь найдём отношение нового сопротивления $R_2$ к старому $R_1$:

$\frac{R_2}{R_1} = \frac{\rho \frac{l_2}{S_2}}{\rho \frac{l_1}{S_1}} = \frac{l_2}{S_2} \cdot \frac{S_1}{l_1} = \frac{l_2}{l_1} \cdot \frac{S_1}{S_2}$

Подставим известные соотношения для длины и площади:

$\frac{R_2}{R_1} = 4 \cdot \frac{S_1}{S_1/4} = 4 \cdot 4 = 16$

Следовательно, новое сопротивление $R_2$ в 16 раз больше начального сопротивления $R_1$:

$R_2 = 16 \cdot R_1 = 16 \cdot 20 \text{ Ом} = 320 \text{ Ом}$

Ответ: 320 Ом.

52.20 [1329] Какой площади поперечного сечения нужно взять кусок стальной проволоки длиной $l$, чтобы её сопротивление было равно сопротивлению алюминиевой проволоки длиной $2l$ с площадью поперечного сечения $0,75 \text{ мм}^2$?

Дано:

$l_1 = l$ — длина стальной проволоки
$l_2 = 2l$ — длина алюминиевой проволоки
$S_2 = 0.75 \text{ мм}^2$ — площадь поперечного сечения алюминиевой проволоки
$R_1 = R_2$ — сопротивления проволок равны
$\rho_1 = \rho_{\text{стали}} \approx 0.12 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$ — удельное электрическое сопротивление стали (справочное значение)
$\rho_2 = \rho_{\text{алюминия}} \approx 0.028 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$ — удельное электрическое сопротивление алюминия (справочное значение)

Перевод в систему СИ:
$S_2 = 0.75 \text{ мм}^2 = 0.75 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2$
$\rho_1 \approx 0.12 \cdot 10^{-6} \text{ Ом} \cdot \text{м}$
$\rho_2 \approx 0.028 \cdot 10^{-6} \text{ Ом} \cdot \text{м}$

Найти:

$S_1$ — площадь поперечного сечения стальной проволоки.

Решение:

Сопротивление проводника определяется по формуле:

$R = \rho \frac{l}{S}$

где $\rho$ — удельное сопротивление материала, $l$ — длина проводника, $S$ — площадь поперечного сечения.

Запишем выражения для сопротивления стальной ($R_1$) и алюминиевой ($R_2$) проволок:

$R_1 = \rho_1 \frac{l_1}{S_1}$

$R_2 = \rho_2 \frac{l_2}{S_2}$

Согласно условию задачи, их сопротивления равны: $R_1 = R_2$.

Следовательно, мы можем приравнять правые части уравнений:

$\rho_1 \frac{l_1}{S_1} = \rho_2 \frac{l_2}{S_2}$

Подставим в это равенство данные из условия задачи: $l_1 = l$ и $l_2 = 2l$.

$\rho_1 \frac{l}{S_1} = \rho_2 \frac{2l}{S_2}$

Длину $l$ можно сократить, так как она присутствует в обеих частях уравнения:

$\frac{\rho_1}{S_1} = \frac{2\rho_2}{S_2}$

Теперь выразим искомую величину $S_1$ (площадь поперечного сечения стальной проволоки):

$S_1 = \frac{\rho_1 S_2}{2\rho_2}$

Подставим числовые значения. Для удобства можно проводить вычисления, используя площадь в $\text{мм}^2$ и удельное сопротивление в $\frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$, так как единицы $\frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$ сократятся.

$S_1 = \frac{0.12 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}} \cdot 0.75 \text{ мм}^2}{2 \cdot 0.028 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}}$

$S_1 = \frac{0.09}{0.056} \text{ мм}^2 \approx 1.607 \text{ мм}^2$

Округлим результат до двух значащих цифр, как в исходных данных.

$S_1 \approx 1.6 \text{ мм}^2$

Ответ: чтобы сопротивление стальной проволоки было равно сопротивлению алюминиевой, ее площадь поперечного сечения должна быть равна $1.6 \text{ мм}^2$.

52.21 [1332]

а) Определите массу железной проволоки с площадью поперечного сечения $2 \text{ мм}^2$, взятой для изготовления реостата сопротивлением $6 \text{ Ом}$.

б) Сопротивление медного контактного провода, используемого для питания двигателя электровоза на электрифицированной железной дороге, при длине $1 \text{ км}$ равно $0,17 \text{ Ом}$. Чему равна площадь поперечного сечения этого провода? Чему равна масса этого провода?

а) Определите массу железной проволоки с площадью поперечного сечения 2 мм², взятой для изготовления реостата сопротивлением 6 Ом.

Дано:
Материал - железо
Площадь поперечного сечения $S = 2 \text{ мм}^2$
Сопротивление $R = 6 \text{ Ом}$

Перевод в систему СИ:
$S = 2 \text{ мм}^2 = 2 \cdot (10^{-3} \text{ м})^2 = 2 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2$

Справочные данные:
Удельное электрическое сопротивление железа $\rho_{el} \approx 1.0 \cdot 10^{-7} \text{ Ом} \cdot \text{м}$
Плотность железа $\rho_{m} \approx 7800 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Найти:
Массу проволоки $m$.

Решение:
Масса проволоки $m$ определяется через её объём $V$ и плотность материала $\rho_{m}$ по формуле:
$m = \rho_{m} \cdot V$
Объём проволоки, которую можно считать цилиндром, равен произведению её длины $L$ на площадь поперечного сечения $S$:
$V = L \cdot S$
Соответственно, формула для массы принимает вид: $m = \rho_{m} \cdot L \cdot S$.
Длину проволоки $L$ можно найти из формулы для электрического сопротивления проводника:
$R = \rho_{el} \frac{L}{S}$
Выразим из этой формулы длину $L$:
$L = \frac{R \cdot S}{\rho_{el}}$
Для выполнения расчетов сначала найдем длину проволоки $L$, используя все значения в системе СИ.
$L = \frac{6 \text{ Ом} \cdot 2 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2}{1.0 \cdot 10^{-7} \text{ Ом} \cdot \text{м}} = \frac{12 \cdot 10^{-6}}{1.0 \cdot 10^{-7}} \text{ м} = 120 \text{ м}$
Теперь, зная длину, можем рассчитать массу проволоки:
$m = \rho_{m} \cdot L \cdot S = 7800 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 120 \text{ м} \cdot 2 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2 = 1.872 \text{ кг}$

Ответ: масса железной проволоки равна $1.872 \text{ кг}$.

б) Сопротивление медного контактного провода, используемого для питания двигателя электровоза на электрифицированной железной дороге, при длине 1 км равно 0,17 Ом. Чему равна площадь поперечного сечения этого провода? Чему равна масса этого провода?

Дано:
Материал - медь
Длина провода $L = 1 \text{ км}$
Сопротивление $R = 0.17 \text{ Ом}$

Перевод в систему СИ:
$L = 1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$

Справочные данные:
Удельное электрическое сопротивление меди $\rho_{el} \approx 1.7 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}$
Плотность меди $\rho_{m} \approx 8900 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Найти:
Площадь поперечного сечения $S$ и массу провода $m$.

Решение:
Сначала найдем площадь поперечного сечения провода $S$, используя формулу для электрического сопротивления:
$R = \rho_{el} \frac{L}{S}$
Выразим из неё искомую площадь $S$:
$S = \rho_{el} \frac{L}{R}$
Подставим известные значения в системе СИ:
$S = \frac{1.7 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м} \cdot 1000 \text{ м}}{0.17 \text{ Ом}} = \frac{1.7 \cdot 10^{-5}}{0.17} \text{ м}^2 = 10 \cdot 10^{-5} \text{ м}^2 = 1 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$.
Для удобства восприятия можно перевести это значение в квадратные миллиметры: $S = 1 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 100 \text{ мм}^2$.
Далее найдем массу провода $m$, зная его длину $L$, найденную площадь сечения $S$ и плотность меди $\rho_{m}$:
$m = \rho_{m} \cdot V = \rho_{m} \cdot L \cdot S$
Подставим числовые значения:
$m = 8900 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 1000 \text{ м} \cdot 1 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 8900 \cdot 10^{-1} \text{ кг} = 890 \text{ кг}$.

Ответ: площадь поперечного сечения провода равна $100 \text{ мм}^2$ ($1 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$), а его масса равна $890 \text{ кг}$.

52.22 [1334] Какой массы надо взять никелиновый проводник с площадью поперечного сечения $1 \text{ мм}^2$, чтобы из него изготовить реостат с сопротивлением $10 \text{ Ом}$? (Плотность никелина $8,8 \text{ г/см}^3$.)

Дано:

Площадь поперечного сечения $S = 1 \text{ мм}^2$
Сопротивление $R = 10 \text{ Ом}$
Плотность никелина $d = 8,8 \text{ г/см}^3$
Удельное сопротивление никелина (справочное значение) $\rho = 0,42 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$

Переведем все данные в систему СИ:

$S = 1 \text{ мм}^2 = 1 \cdot (10^{-3} \text{ м})^2 = 1 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2$
$d = 8,8 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} = 8,8 \frac{10^{-3} \text{ кг}}{(10^{-2} \text{ м})^3} = 8,8 \frac{10^{-3}}{10^{-6}} \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} = 8,8 \cdot 10^3 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$
$\rho = 0,42 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}} = 0,42 \frac{\text{Ом} \cdot (10^{-3} \text{ м})^2}{\text{м}} = 0,42 \cdot 10^{-6} \text{ Ом} \cdot \text{м}$

Найти:

Массу проводника $m$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся двумя основными формулами: формулой для массы тела через его плотность и объем, и формулой для сопротивления проводника.

1. Масса проводника определяется как произведение его плотности $d$ на объем $V$:
$m = d \cdot V$

2. Объем проводника (который имеет форму длинного цилиндра) равен произведению площади его поперечного сечения $S$ на длину $l$:
$V = S \cdot l$

3. Сопротивление проводника $R$ зависит от его длины $l$, площади поперечного сечения $S$ и удельного сопротивления материала $\rho$:
$R = \rho \frac{l}{S}$

Мы не знаем длину проводника $l$, но можем выразить ее из формулы сопротивления: $l = \frac{R \cdot S}{\rho}$

Теперь подставим это выражение для длины в формулу для объема: $V = S \cdot l = S \cdot \frac{R \cdot S}{\rho} = \frac{R \cdot S^2}{\rho}$

Наконец, подставим полученное выражение для объема в формулу для массы: $m = d \cdot V = d \cdot \frac{R \cdot S^2}{\rho}$

Теперь, когда у нас есть итоговая формула, подставим в нее числовые значения в системе СИ: $m = (8,8 \cdot 10^3 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}) \cdot \frac{10 \text{ Ом} \cdot (1 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2)^2}{0,42 \cdot 10^{-6} \text{ Ом} \cdot \text{м}}$

$m = 8,8 \cdot 10^3 \cdot \frac{10 \cdot 10^{-12}}{0,42 \cdot 10^{-6}} \text{ кг}$

$m = \frac{8,8 \cdot 10}{0,42} \cdot 10^{3 - 12 - (-6)} \text{ кг} = \frac{88}{0,42} \cdot 10^{-3} \text{ кг}$

$m \approx 209,52 \cdot 10^{-3} \text{ кг} \approx 0,21 \text{ кг}$

Ответ: чтобы изготовить реостат, надо взять никелиновый проводник массой примерно 0,21 кг (или 210 г).

52.23 [1335] Какой длины надо взять железную проволоку с площадью поперечного сечения $2 \text{ мм}^2$, чтобы её сопротивление было таким же, как сопротивление алюминиевой проволоки длиной $1 \text{ км}$ с площадью поперечного сечения $4 \text{ мм}^2$?

Дано:

Площадь поперечного сечения железной проволоки: $S_ж = 2 \text{ мм}^2$
Длина алюминиевой проволоки: $L_а = 1 \text{ км}$
Площадь поперечного сечения алюминиевой проволоки: $S_а = 4 \text{ мм}^2$
Условие равенства сопротивлений: $R_ж = R_а$

Перевод данных в систему СИ и табличные значения:

$S_ж = 2 \text{ мм}^2 = 2 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2$
$L_а = 1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$
$S_а = 4 \text{ мм}^2 = 4 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2$
Удельное сопротивление железа: $\rho_ж \approx 0.1 \cdot 10^{-6} \text{ Ом} \cdot \text{м}$
Удельное сопротивление алюминия: $\rho_а \approx 0.028 \cdot 10^{-6} \text{ Ом} \cdot \text{м}$

Найти:

Длину железной проволоки, $L_ж$.

Решение:

Сопротивление проводника определяется по формуле:

$R = \rho \frac{L}{S}$

где $\rho$ — удельное электрическое сопротивление материала, $L$ — длина проводника, а $S$ — площадь его поперечного сечения.

Запишем выражения для сопротивления железной ($R_ж$) и алюминиевой ($R_а$) проволок:

$R_ж = \rho_ж \frac{L_ж}{S_ж}$

$R_а = \rho_а \frac{L_а}{S_а}$

По условию задачи сопротивления проволок равны ($R_ж = R_а$), поэтому мы можем приравнять правые части выражений:

$\rho_ж \frac{L_ж}{S_ж} = \rho_а \frac{L_а}{S_а}$

Из этого равенства выразим искомую длину железной проволоки $L_ж$:

$L_ж = L_а \cdot \frac{\rho_а}{\rho_ж} \cdot \frac{S_ж}{S_а}$

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу:

$L_ж = 1000 \text{ м} \cdot \frac{0.028 \cdot 10^{-6} \text{ Ом} \cdot \text{м}}{0.1 \cdot 10^{-6} \text{ Ом} \cdot \text{м}} \cdot \frac{2 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2}{4 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2}$

Проведем вычисления, сократив одинаковые множители:

$L_ж = 1000 \cdot \frac{0.028}{0.1} \cdot \frac{2}{4} = 1000 \cdot 0.28 \cdot 0.5 = 140 \text{ м}$

Ответ: надо взять железную проволоку длиной 140 м.

52.24 [1336] Какая площадь поперечного сечения должна быть у железной проволоки длиной 10 м, чтобы её сопротивление было таким же, как у никелиновой проволоки длиной 1 м с площадью поперечного сечения $0,2 \text{ мм}^2$?

Дано:

$l_1 = 10$ м (длина железной проволоки)

$l_2 = 1$ м (длина никелиновой проволоки)

$S_2 = 0,2$ мм² (площадь поперечного сечения никелиновой проволоки)

$R_1 = R_2$ (условие равенства сопротивлений)

Табличные значения удельных сопротивлений:

$\rho_1 = 0,1 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$ (железо)

$\rho_2 = 0,4 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$ (никелин)

$S_2 = 0,2 \text{ мм}^2 = 0,2 \cdot (10^{-3} \text{ м})^2 = 0,2 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2 = 2 \cdot 10^{-7} \text{ м}^2$

$\rho_1 = 0,1 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}} = 0,1 \frac{\text{Ом} \cdot (10^{-3} \text{ м})^2}{\text{м}} = 0,1 \cdot 10^{-6} \text{ Ом} \cdot \text{м} = 1 \cdot 10^{-7} \text{ Ом} \cdot \text{м}$

$\rho_2 = 0,4 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}} = 0,4 \frac{\text{Ом} \cdot (10^{-3} \text{ м})^2}{\text{м}} = 0,4 \cdot 10^{-6} \text{ Ом} \cdot \text{м} = 4 \cdot 10^{-7} \text{ Ом} \cdot \text{м}$

Найти:

$S_1$ - ?

Решение:

Сопротивление проводника вычисляется по формуле: $R = \rho \frac{l}{S}$, где $\rho$ - удельное электрическое сопротивление материала, $l$ - длина проводника, а $S$ - площадь его поперечного сечения.

Запишем формулы сопротивления для железной (индекс 1) и никелиновой (индекс 2) проволок: $R_1 = \rho_1 \frac{l_1}{S_1}$ и $R_2 = \rho_2 \frac{l_2}{S_2}$.

Согласно условию задачи, сопротивления проволок равны, $R_1 = R_2$. Следовательно, можно приравнять выражения для сопротивлений: $\rho_1 \frac{l_1}{S_1} = \rho_2 \frac{l_2}{S_2}$.

Из этого соотношения выразим искомую величину - площадь поперечного сечения железной проволоки $S_1$: $S_1 = \frac{\rho_1 \cdot l_1 \cdot S_2}{\rho_2 \cdot l_2}$.

Подставим в формулу значения, переведенные в систему СИ:

$S_1 = \frac{(1 \cdot 10^{-7} \text{ Ом} \cdot \text{м}) \cdot 10 \text{ м} \cdot (2 \cdot 10^{-7} \text{ м}^2)}{(4 \cdot 10^{-7} \text{ Ом} \cdot \text{м}) \cdot 1 \text{ м}} = \frac{1 \cdot 10 \cdot 2}{4} \cdot \frac{10^{-7} \cdot 10^{-7}}{10^{-7}} \text{ м}^2$

$S_1 = 5 \cdot 10^{-7} \text{ м}^2$.

Для удобства восприятия переведем результат обратно в квадратные миллиметры: $S_1 = 5 \cdot 10^{-7} \text{ м}^2 = 5 \cdot 10^{-7} \cdot (10^3 \text{ мм})^2 = 5 \cdot 10^{-7} \cdot 10^6 \text{ мм}^2 = 0,5 \text{ мм}^2$.

Ответ: площадь поперечного сечения железной проволоки должна быть 0,5 мм².