Номер 52.22, страница 186 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 52. Расчёт сопротивления проводников. Глава 7. Электрические явления - номер 52.22, страница 186.

52.22 [1334] Какой массы надо взять никелиновый проводник с площадью поперечного сечения $1 \text{ мм}^2$, чтобы из него изготовить реостат с сопротивлением $10 \text{ Ом}$? (Плотность никелина $8,8 \text{ г/см}^3$.)

Дано:

Площадь поперечного сечения $S = 1 \text{ мм}^2$
Сопротивление $R = 10 \text{ Ом}$
Плотность никелина $d = 8,8 \text{ г/см}^3$
Удельное сопротивление никелина (справочное значение) $\rho = 0,42 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$

Переведем все данные в систему СИ:

$S = 1 \text{ мм}^2 = 1 \cdot (10^{-3} \text{ м})^2 = 1 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2$
$d = 8,8 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} = 8,8 \frac{10^{-3} \text{ кг}}{(10^{-2} \text{ м})^3} = 8,8 \frac{10^{-3}}{10^{-6}} \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} = 8,8 \cdot 10^3 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$
$\rho = 0,42 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}} = 0,42 \frac{\text{Ом} \cdot (10^{-3} \text{ м})^2}{\text{м}} = 0,42 \cdot 10^{-6} \text{ Ом} \cdot \text{м}$

Найти:

Массу проводника $m$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся двумя основными формулами: формулой для массы тела через его плотность и объем, и формулой для сопротивления проводника.

1. Масса проводника определяется как произведение его плотности $d$ на объем $V$:
$m = d \cdot V$

2. Объем проводника (который имеет форму длинного цилиндра) равен произведению площади его поперечного сечения $S$ на длину $l$:
$V = S \cdot l$

3. Сопротивление проводника $R$ зависит от его длины $l$, площади поперечного сечения $S$ и удельного сопротивления материала $\rho$:
$R = \rho \frac{l}{S}$

Мы не знаем длину проводника $l$, но можем выразить ее из формулы сопротивления: $l = \frac{R \cdot S}{\rho}$

Теперь подставим это выражение для длины в формулу для объема: $V = S \cdot l = S \cdot \frac{R \cdot S}{\rho} = \frac{R \cdot S^2}{\rho}$

Наконец, подставим полученное выражение для объема в формулу для массы: $m = d \cdot V = d \cdot \frac{R \cdot S^2}{\rho}$

Теперь, когда у нас есть итоговая формула, подставим в нее числовые значения в системе СИ: $m = (8,8 \cdot 10^3 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}) \cdot \frac{10 \text{ Ом} \cdot (1 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2)^2}{0,42 \cdot 10^{-6} \text{ Ом} \cdot \text{м}}$

$m = 8,8 \cdot 10^3 \cdot \frac{10 \cdot 10^{-12}}{0,42 \cdot 10^{-6}} \text{ кг}$

$m = \frac{8,8 \cdot 10}{0,42} \cdot 10^{3 - 12 - (-6)} \text{ кг} = \frac{88}{0,42} \cdot 10^{-3} \text{ кг}$

$m \approx 209,52 \cdot 10^{-3} \text{ кг} \approx 0,21 \text{ кг}$

Ответ: чтобы изготовить реостат, надо взять никелиновый проводник массой примерно 0,21 кг (или 210 г).