Страница 185 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

52.7 [1317] Определите сопротивление телеграфного провода между Москвой и Санкт-Петербургом, если расстояние между городами равно 650 км, а провод сделан из железной проволоки площадью поперечного сечения 12 $\text{мм}^2$.

Дано:

Длина телеграфного провода (расстояние между городами), $l = 650 \text{ км}$
Площадь поперечного сечения провода, $S = 12 \text{ мм}^2$
Материал провода — железо.

Перевод в систему СИ:
$l = 650 \text{ км} = 650 \cdot 10^3 \text{ м} = 6.5 \cdot 10^5 \text{ м}$
$S = 12 \text{ мм}^2 = 12 \cdot (10^{-3} \text{ м})^2 = 12 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2 = 1.2 \cdot 10^{-5} \text{ м}^2$
Удельное электрическое сопротивление железа (справочное значение) $\rho \approx 1.0 \cdot 10^{-7} \text{ Ом} \cdot \text{м}$.

Найти:

Сопротивление провода $R$.

Решение:

Сопротивление проводника зависит от его материала, длины и площади поперечного сечения. Для расчёта сопротивления используется формула:

$R = \rho \frac{l}{S}$

где $R$ — искомое сопротивление, $\rho$ — удельное электрическое сопротивление материала (для железа $\rho \approx 1.0 \cdot 10^{-7} \text{ Ом} \cdot \text{м}$), $l$ — длина проводника, $S$ — площадь поперечного сечения.

Подставим значения, переведенные в систему СИ, в формулу:

$R = 1.0 \cdot 10^{-7} \text{ Ом} \cdot \text{м} \cdot \frac{6.5 \cdot 10^5 \text{ м}}{1.2 \cdot 10^{-5} \text{ м}^2}$

Проведем вычисления:

$R = \frac{1.0 \cdot 6.5}{1.2} \cdot \frac{10^{-7} \cdot 10^5}{10^{-5}} \text{ Ом}$

$R = \frac{6.5}{1.2} \cdot 10^{-7+5-(-5)} \text{ Ом}$

$R \approx 5.4167 \cdot 10^3 \text{ Ом}$

$R \approx 5417 \text{ Ом}$

Результат также можно представить в килоомах: $5417 \text{ Ом} \approx 5.42 \text{ кОм}$.

Ответ: сопротивление телеграфного провода примерно равно $5417 \text{ Ом}$.

52.8 [1331] Измерения показали, что проводник длиной 1 м и площадью поперечного сечения $0,2 \text{ мм}^2$ имеет сопротивление 2,5 Ом. Из какого сплава металлов изготовлен проводник?

Дано:

Длина проводника, $l = 1$ м
Площадь поперечного сечения, $S = 0,2$ мм²
Сопротивление проводника, $R = 2,5$ Ом

Перевод в систему СИ:
$S = 0,2 \text{ мм}^2 = 0,2 \cdot (10^{-3} \text{ м})^2 = 0,2 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2 = 2 \cdot 10^{-7} \text{ м}^2$

Найти:

Материал (сплав) проводника.

Решение:

Для того чтобы определить, из какого материала изготовлен проводник, необходимо вычислить его удельное электрическое сопротивление $\rho$. Сопротивление проводника $R$ связано с его длиной $l$, площадью поперечного сечения $S$ и удельным сопротивлением материала $\rho$ следующей формулой:

$R = \rho \frac{l}{S}$

Из этой формулы выразим удельное сопротивление $\rho$:

$\rho = \frac{R \cdot S}{l}$

Подставим известные значения в полученную формулу. Для удобства сравнения с табличными значениями, которые часто приводятся в единицах $\frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$, можно использовать площадь $S$ в мм², а длину $l$ в м.

$\rho = \frac{2,5 \text{ Ом} \cdot 0,2 \text{ мм}^2}{1 \text{ м}} = 0,5 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$

Сравнив полученное значение с табличными значениями удельных сопротивлений различных веществ, мы можем определить материал. Удельное сопротивление $\rho = 0,5 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$ (или $0,5 \cdot 10^{-6} \text{ Ом} \cdot \text{м}$ в СИ) соответствует константану. Константан — это термостабильный сплав на основе меди (около 55%) и никеля (44-45%) с добавками марганца (1-2%).

Ответ: проводник изготовлен из константана.

52.9 [1327] Масса 1 км контактного провода на пригородной электрифицированной железной дороге составляет 890 кг. Чему равно сопротивление этого провода?

Дано:

Найти:

Решение:

Для решения задачи необходимо знать материал, из которого изготовлен контактный провод. Обычно для этих целей используют медь или ее сплавы. В расчетах будем считать, что провод медный.
Воспользуемся справочными данными для меди:
Удельное электрическое сопротивление меди: $\rho \approx 1.7 \times 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}$.
Плотность меди: $d \approx 8900 \text{ кг/м}^3$.

Сопротивление проводника определяется по формуле:
$R = \rho \frac{l}{S}$, где $S$ — площадь поперечного сечения провода.

Площадь поперечного сечения $S$ нам неизвестна. Ее можно выразить через массу $m$, длину $l$ и плотность $d$ материала.
Масса провода равна произведению его объема $V$ на плотность $d$:
$m = V \cdot d$.
Объем провода, имеющего форму цилиндра, равен произведению площади поперечного сечения $S$ на длину $l$:
$V = S \cdot l$.
Подставив выражение для объема в формулу массы, получим:
$m = S \cdot l \cdot d$.

Из этой формулы выразим площадь поперечного сечения $S$:
$S = \frac{m}{l \cdot d}$.

Теперь подставим полученное выражение для $S$ в формулу сопротивления:
$R = \rho \frac{l}{S} = \rho \frac{l}{\frac{m}{l \cdot d}} = \frac{\rho \cdot d \cdot l^2}{m}$.

Подставим числовые значения в итоговую формулу:
$R = \frac{1.7 \times 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м} \cdot 8900 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot (1000 \text{ м})^2}{890 \text{ кг}}$
$R = \frac{1.7 \times 10^{-8} \cdot 8900 \cdot 10^6}{890} \text{ Ом}$
$R = 1.7 \times 10^{-8} \cdot \frac{8900}{890} \cdot 10^6 \text{ Ом}$
$R = 1.7 \times 10^{-8} \cdot 10 \cdot 10^6 \text{ Ом}$
$R = 1.7 \times 10^{-8+1+6} \text{ Ом} = 1.7 \times 10^{-1} \text{ Ом} = 0.17 \text{ Ом}$.

Ответ: сопротивление этого провода равно $0.17 \text{ Ом}$.

52.10 [1321] Обмотка реостата, изготовленная из никелиновой проволоки, имеет сопротивление 36 Ом. Какой длины эта проволока, если площадь её поперечного сечения 0,2 мм²?

Дано:

Материал проволоки: никелин
Сопротивление обмотки: $R = 36$ Ом
Площадь поперечного сечения: $S = 0,2 \text{ мм}^2$
Удельное электрическое сопротивление никелина (справочное значение): $\rho = 0,4 \cdot 10^{-6}$ Ом·м

$S = 0,2 \text{ мм}^2 = 0,2 \cdot (10^{-3} \text{ м})^2 = 0,2 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2$

Найти:

Длину проволоки $L$.

Решение:

Сопротивление проводника связано с его геометрическими размерами и материалом, из которого он изготовлен, следующей формулой: $R = \rho \frac{L}{S}$ где $R$ — сопротивление проводника, $\rho$ — удельное сопротивление материала, $L$ — длина проводника, а $S$ — площадь его поперечного сечения.

Чтобы найти длину проволоки $L$, выразим ее из этой формулы. Для этого умножим обе части уравнения на $S$ и разделим на $\rho$: $L = \frac{R \cdot S}{\rho}$

Теперь подставим в полученное выражение числовые значения из условия задачи, переведенные в систему СИ: $L = \frac{36 \text{ Ом} \cdot 0,2 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2}{0,4 \cdot 10^{-6} \text{ Ом} \cdot \text{м}}$

Выполним математические расчеты. Множитель $10^{-6}$ присутствует и в числителе, и в знаменателе, поэтому он сокращается: $L = \frac{36 \cdot 0,2}{0,4} \text{ м} = \frac{7,2}{0,4} \text{ м} = 18 \text{ м}$

Ответ: длина никелиновой проволоки составляет 18 м.

52.11 [1324] Какой длины медная проволока намотана на катушку электрического звонка, если сопротивление её 0,68 Ом, а площадь поперечного сечения 0,35 мм²?

Дано:

Сопротивление медной проволоки $R = 0,68$ Ом

Площадь поперечного сечения $S = 0,35 \text{ мм}^2$

Перевод в систему СИ:

Площадь поперечного сечения: $S = 0,35 \text{ мм}^2 = 0,35 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2$

Удельное электрическое сопротивление меди (табличное значение): $\rho = 1,7 \cdot 10^{-8}$ Ом·м

Найти:

Длину проволоки $l$.

Решение:

Сопротивление проводника связано с его параметрами по формуле: $R = \rho \frac{l}{S}$ где $R$ — сопротивление проводника, $\rho$ — удельное электрическое сопротивление материала, $l$ — длина проводника, $S$ — площадь поперечного сечения.

Чтобы найти длину проволоки, выразим $l$ из этой формулы: $l = \frac{R \cdot S}{\rho}$

Для удобства вычислений целесообразно использовать значение удельного сопротивления меди, выраженное в $\frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$, которое составляет $\rho = 0,017 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$. В этом случае площадь поперечного сечения можно оставить в $\text{мм}^2$.

Подставим числовые значения в формулу: $l = \frac{0,68 \text{ Ом} \cdot 0,35 \text{ мм}^2}{0,017 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}}$

Выполним расчет: $l = \frac{0,238}{0,017} \text{ м} = 14 \text{ м}$

Ответ: длина медной проволоки, намотанной на катушку, составляет 14 м.

52.12 [1325] Сопротивление проволоки с площадью поперечного сечения $0,1 \text{ мм}^2$ равно $180 \text{ Ом}$. Какой площади поперечного сечения надо взять проволоку той же длины и из того же материала, чтобы получить сопротивление $36 \text{ Ом}$?

Дано:

Сопротивление проводника $R$ вычисляется по формуле, связывающей его с удельным сопротивлением материала $\rho$, длиной $l$ и площадью поперечного сечения $S$: $$R = \rho \frac{l}{S}$$

Для первого случая (исходная проволока) запишем: $$R_1 = \rho \frac{l}{S_1}$$

Для второго случая (новая проволока) запишем: $$R_2 = \rho \frac{l}{S_2}$$ Согласно условию, длина $l$ и материал (следовательно, и удельное сопротивление $\rho$) в обоих случаях одинаковы.

Чтобы найти связь между параметрами, разделим первое уравнение на второе: $$\frac{R_1}{R_2} = \frac{\rho \frac{l}{S_1}}{\rho \frac{l}{S_2}}$$

Сократив одинаковые величины $\rho$ и $l$, получим простую пропорцию, показывающую, что сопротивление обратно пропорционально площади поперечного сечения: $$\frac{R_1}{R_2} = \frac{S_2}{S_1}$$

Из этого соотношения выразим искомую площадь $S_2$: $$S_2 = S_1 \cdot \frac{R_1}{R_2}$$

Подставим известные числовые значения в полученную формулу и выполним вычисления: $$S_2 = 0,1 \text{ мм}^2 \cdot \frac{180 \text{ Ом}}{36 \text{ Ом}}$$ $$S_2 = 0,1 \text{ мм}^2 \cdot 5$$ $$S_2 = 0,5 \text{ мм}^2$$

Ответ: для получения сопротивления 36 Ом надо взять проволоку с площадью поперечного сечения 0,5 мм².

52.13 [1306] Имеются две проволоки из одного и того же материала с одинаковой площадью поперечного сечения. Длина первой — 20 см, второй — 1 м. Сопротивление какой проволоки больше? Во сколько раз?

Дано:

Найти:

Определить, сопротивление какой проволоки больше и найти их отношение.

Решение:

Электрическое сопротивление проводника рассчитывается по формуле:

$R = \rho \frac{l}{S}$

где $\rho$ — удельное сопротивление материала, $l$ — длина проводника, $S$ — площадь поперечного сечения.

Для первой проволоки сопротивление равно:

$R_1 = \rho \frac{l_1}{S}$

Для второй проволоки сопротивление равно:

$R_2 = \rho \frac{l_2}{S}$

Из условий задачи известно, что удельное сопротивление $\rho$ и площадь поперечного сечения $S$ для обеих проволок одинаковы. Следовательно, сопротивление зависит только от длины проводника. Поскольку сопротивление прямо пропорционально длине ($R \propto l$), проводник большей длины будет иметь большее сопротивление.

Сравним длины проволок:

$l_1 = 0.2 \text{ м}$

$l_2 = 1 \text{ м}$

Поскольку $l_2 > l_1$ ($1 \text{ м} > 0.2 \text{ м}$), то сопротивление второй проволоки $R_2$ больше сопротивления первой $R_1$.

Чтобы определить, во сколько раз сопротивление второй проволоки больше, найдем отношение их сопротивлений $\frac{R_2}{R_1}$:

$\frac{R_2}{R_1} = \frac{\rho \frac{l_2}{S}}{\rho \frac{l_1}{S}}$

Сократив одинаковые величины $\rho$ и $S$, получим:

$\frac{R_2}{R_1} = \frac{l_2}{l_1}$

Подставим числовые значения длин в систему СИ:

$\frac{R_2}{R_1} = \frac{1 \text{ м}}{0.2 \text{ м}} = 5$

Это означает, что сопротивление второй проволоки в 5 раз больше, чем сопротивление первой.

Ответ: сопротивление второй проволоки больше в 5 раз.

52.14* [1307*] Алюминиевая и медная проволоки имеют равные массы и одинаковые площади поперечных сечений. Какая из проволок имеет большее сопротивление?

Дано:

$m_а = m_м = m$ (массы алюминиевой и медной проволок равны)
$S_а = S_м = S$ (площади поперечных сечений проволок равны)
Удельное сопротивление алюминия $\rho_а = 2.8 \cdot 10^{-8}$ Ом·м
Удельное сопротивление меди $\rho_м = 1.7 \cdot 10^{-8}$ Ом·м
Плотность алюминия $d_а = 2700$ кг/м³
Плотность меди $d_м = 8960$ кг/м³

Найти:

Какая из проволок имеет большее сопротивление, т.е. сравнить $R_а$ и $R_м$.

Решение:

Сопротивление проводника определяется формулой: $R = \rho \frac{l}{S}$ где $\rho$ — удельное сопротивление материала, $l$ — длина проводника, $S$ — площадь его поперечного сечения.

Запишем формулы сопротивления для алюминиевой ($R_а$) и медной ($R_м$) проволок: $R_а = \rho_а \frac{l_а}{S}$ $R_м = \rho_м \frac{l_м}{S}$

Масса проволоки может быть выражена через ее плотность $d$, длину $l$ и площадь поперечного сечения $S$: $m = d \cdot V = d \cdot l \cdot S$

Из этой формулы выразим длину каждой проволоки. Так как по условию массы $m$ и площади сечения $S$ у проволок одинаковы: $l_а = \frac{m}{d_а \cdot S}$ $l_м = \frac{m}{d_м \cdot S}$

Теперь подставим выражения для длин в формулы для сопротивлений: $R_а = \rho_а \frac{1}{S} \cdot \left(\frac{m}{d_а \cdot S}\right) = \frac{\rho_а \cdot m}{d_а \cdot S^2}$ $R_м = \rho_м \frac{1}{S} \cdot \left(\frac{m}{d_м \cdot S}\right) = \frac{\rho_м \cdot m}{d_м \cdot S^2}$

Чтобы сравнить сопротивления, найдем их отношение: $\frac{R_а}{R_м} = \frac{\frac{\rho_а \cdot m}{d_а \cdot S^2}}{\frac{\rho_м \cdot m}{d_м \cdot S^2}}$

Сократив одинаковые величины $m$ и $S^2$, получим: $\frac{R_а}{R_м} = \frac{\rho_а \cdot d_м}{\rho_м \cdot d_а}$

Подставим табличные значения удельных сопротивлений и плотностей для алюминия и меди: $\frac{R_а}{R_м} = \frac{2.8 \cdot 10^{-8} \text{ Ом·м} \cdot 8960 \text{ кг/м³}}{1.7 \cdot 10^{-8} \text{ Ом·м} \cdot 2700 \text{ кг/м³}} = \frac{2.8 \cdot 8960}{1.7 \cdot 2700} = \frac{25088}{4590} \approx 5.46$

Поскольку отношение $\frac{R_а}{R_м} \approx 5.46 > 1$, то сопротивление алюминиевой проволоки $R_а$ больше сопротивления медной $R_м$.

Ответ: сопротивление алюминиевой проволоки больше сопротивления медной примерно в 5.5 раз.

52.15* [1308*] Имеется два однородных проводника, однако первый в 8 раз длиннее второго, который имеет вдвое большую площадь поперечного сечения. Какой из проводников обладает большим сопротивлением? Во сколько раз?

Дано:

Найти:

Решение:

Сопротивление проводника определяется по формуле: $R = \rho \frac{l}{S}$, где $ \rho $ — удельное сопротивление материала, $ l $ — длина проводника, а $ S $ — площадь его поперечного сечения.

Запишем выражения для сопротивлений первого ($R_1$) и второго ($R_2$) проводников:

$R_1 = \rho_1 \frac{l_1}{S_1}$

$R_2 = \rho_2 \frac{l_2}{S_2}$

Поскольку проводники однородны (сделаны из одного материала), их удельные сопротивления равны: $ \rho_1 = \rho_2 = \rho $.

Согласно условию задачи, длина первого проводника в 8 раз больше длины второго ($l_1 = 8l_2$), а площадь поперечного сечения второго проводника в 2 раза больше площади сечения первого ($S_2 = 2S_1$).

Подставим эти соотношения в формулы для сопротивлений:

$R_1 = \rho \frac{8l_2}{S_1}$

$R_2 = \rho \frac{l_2}{2S_1}$

Чтобы определить, какой из проводников обладает большим сопротивлением и во сколько раз, найдем отношение их сопротивлений:

$\frac{R_1}{R_2} = \frac{\rho \frac{8l_2}{S_1}}{\rho \frac{l_2}{2S_1}}$

Сократим удельное сопротивление $\rho$:

$\frac{R_1}{R_2} = \frac{\frac{8l_2}{S_1}}{\frac{l_2}{2S_1}} = \frac{8l_2}{S_1} \cdot \frac{2S_1}{l_2}$

Сократим одинаковые величины $l_2$ и $S_1$:

$\frac{R_1}{R_2} = 8 \cdot 2 = 16$

Таким образом, $R_1 = 16 R_2$. Это означает, что сопротивление первого проводника больше сопротивления второго в 16 раз.

Ответ: Сопротивление первого проводника больше в 16 раз.

52.16* [1310*] После протягивания проволоки через волочильный станок её длина увеличилась в 3 раза. Как изменилось сопротивление этой проволоки?

Дано:

Обозначим начальную длину проволоки как $l_1$, а конечную как $l_2$.
Обозначим начальную площадь поперечного сечения как $S_1$, а конечную как $S_2$.
Обозначим начальное сопротивление как $R_1$, а конечное как $R_2$.
Соотношение длин: $l_2 = 3l_1$.

Найти:

Отношение конечного сопротивления к начальному: $\frac{R_2}{R_1}$.

Решение:

Сопротивление проводника вычисляется по формуле: $R = \rho \frac{l}{S}$, где $\rho$ — удельное сопротивление материала, $l$ — длина проводника, а $S$ — площадь его поперечного сечения.

Соответственно, начальное и конечное сопротивления проволоки равны: $R_1 = \rho \frac{l_1}{S_1}$
$R_2 = \rho \frac{l_2}{S_2}$

При протягивании проволоки её объём остаётся неизменным, так как изменяется только форма, а не количество вещества. Объём проволоки $V$ можно считать объёмом цилиндра: $V = l \cdot S$.

Условие сохранения объёма: $V_1 = V_2$.
$l_1 S_1 = l_2 S_2$

Выразим, как изменилась площадь поперечного сечения. Подставим в уравнение сохранения объёма известное из условия соотношение длин $l_2 = 3l_1$:
$l_1 S_1 = (3l_1) S_2$
Разделив обе части на $l_1$, получим:
$S_1 = 3S_2$
Отсюда $S_2 = \frac{S_1}{3}$.
Таким образом, при увеличении длины в 3 раза, площадь поперечного сечения уменьшилась в 3 раза.

Теперь найдём отношение конечного сопротивления $R_2$ к начальному $R_1$:
$\frac{R_2}{R_1} = \frac{\rho \frac{l_2}{S_2}}{\rho \frac{l_1}{S_1}} = \frac{l_2}{S_2} \cdot \frac{S_1}{l_1} = \frac{l_2}{l_1} \cdot \frac{S_1}{S_2}$

Подставим в полученное выражение соотношения для длин ($\frac{l_2}{l_1} = 3$) и площадей ($\frac{S_1}{S_2} = 3$):
$\frac{R_2}{R_1} = 3 \cdot 3 = 9$.

Ответ: сопротивление проволоки увеличилось в 9 раз.