Номер 55.25, страница 198 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 55. Параллельное соединение проводников. Глава 7. Электрические явления - номер 55.25, страница 198.

55.25* [1382*] К проводнику, сопротивление которого 1 кОм, параллельно подключили проводник сопротивлением 1 Ом. Докажите, что общее их сопротивление будет меньше 1 Ом.

Дано:

Сопротивление первого проводника $R_1 = 1 \text{ кОм}$
Сопротивление второго проводника $R_2 = 1 \text{ Ом}$
Тип соединения — параллельное.

Перевод в СИ:

$R_1 = 1 \times 10^3 \text{ Ом} = 1000 \text{ Ом}$

Найти:

Доказать, что общее сопротивление $R_{общ} < 1 \text{ Ом}$.

Решение:

При параллельном соединении проводников величина, обратная общему сопротивлению (общая проводимость), равна сумме величин, обратных сопротивлениям каждого проводника (сумме проводимостей):

$\frac{1}{R_{общ}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$

Для двух проводников эту формулу можно преобразовать к виду:

$R_{общ} = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2}$

Подставим числовые значения сопротивлений $R_1 = 1000 \text{ Ом}$ и $R_2 = 1 \text{ Ом}$:

$R_{общ} = \frac{1000 \text{ Ом} \cdot 1 \text{ Ом}}{1000 \text{ Ом} + 1 \text{ Ом}} = \frac{1000}{1001} \text{ Ом}$

Теперь необходимо сравнить полученное значение общего сопротивления с 1 Ом.

Мы получили дробь $\frac{1000}{1001}$. В этой дроби числитель (1000) меньше знаменателя (1001). Такая дробь называется правильной, и её значение всегда меньше единицы.

$\frac{1000}{1001} < 1$

Следовательно, мы доказали, что общее сопротивление $R_{общ}$ меньше 1 Ом.

Это утверждение также является следствием общего свойства параллельного соединения: общее сопротивление участка цепи при параллельном соединении всегда меньше наименьшего из сопротивлений, входящих в этот участок. В данном случае наименьшее сопротивление - это $R_2 = 1 \text{ Ом}$, поэтому $R_{общ}$ заведомо будет меньше 1 Ом.

Ответ:

Общее сопротивление цепи равно $R_{общ} = \frac{1000}{1001} \text{ Ом}$. Поскольку $1000 < 1001$, то значение дроби $\frac{1000}{1001}$ меньше 1. Таким образом, доказано, что общее сопротивление двух проводников меньше 1 Ом.