Страница 198 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

55.19 [1376] Начертите схему цепи, состоящей из источника тока, трёх ламп, включённых параллельно, амперметров, измеряющих силу тока в каждой лампе и во всей цепи, и выключателя, общего для всей цепи.

Решение

Для того чтобы начертить схему цепи согласно условию, необходимо правильно расположить все элементы.

1. Источник тока — основа цепи, обеспечивающая напряжение.

2. Общий выключатель должен размыкать и замыкать всю цепь целиком, поэтому он включается в неразветвлённую часть цепи последовательно с источником тока.

3. Три лампы, включённые параллельно. Это означает, что цепь должна разделиться на три ветви, в каждой из которых находится одна лампа. Все ветви должны начинаться в одной точке (узле) и заканчиваться в другой.

4. Амперметры. Амперметр всегда включается в цепь последовательно с тем элементом (или участком цепи), силу тока в котором он должен измерить.

- Для измерения силы тока в каждой лампе необходимо включить по одному амперметру (A₁, A₂, A₃) последовательно с каждой из ламп (Л₁, Л₂, Л₃) в соответствующей параллельной ветви.

- Для измерения силы тока во всей цепи (общего тока) необходимо включить еще один амперметр (A_общ) в неразветвлённую часть цепи, например, между источником тока и точкой разветвления.

Ниже представлена принципиальная электрическая схема, собранная по этим правилам.

На данной схеме источник тока, выключатель (К) и общий амперметр A_общ соединены последовательно. После них цепь разветвляется на три параллельных участка. В каждой ветви последовательно включены амперметр (A₁, A₂ или A₃) и лампа (Л₁, Л₂ или Л₃). Затем все ветви снова соединяются и замыкаются на второй полюс источника тока.

Согласно первому правилу Кирхгофа для узлов, общий ток, измеренный амперметром A_общ, будет равен сумме токов в параллельных ветвях, измеренных амперметрами A₁, A₂ и A₃: $I_{общ} = I_1 + I_2 + I_3$

Ответ:

Схема цепи, удовлетворяющая всем условиям задачи, представлена на рисунке выше. В ней источник тока, общий выключатель и амперметр для измерения общего тока включены последовательно. За ними следуют три параллельные ветви, каждая из которых содержит последовательно соединённые лампу и амперметр для измерения тока в данной ветви.

55.20° [1377°] Лампы и амперметр включены так, как показано на рисунке VII-71. Во сколько раз различаются показания амперметра при разомкнутом и замкнутом ключе? Сопротивления ламп одинаковы. Напряжение поддерживается постоянным.

Рис. VII-71

Дано:

$R_1 = R_2 = R_3 = R$ - сопротивления ламп одинаковы
$U = \text{const}$ - напряжение источника постоянно

Найти:

$\frac{I_{замк}}{I_{разомк}}$ - отношение показаний амперметра при замкнутом и разомкнутом ключе.

Решение:

Амперметр включен в неразветвленную часть цепи, поэтому он измеряет общий ток, потребляемый от источника. Рассмотрим два состояния цепи.

1. Ключ разомкнут.

В этом случае ток не течет через верхнюю ветвь, так как она разорвана. Ток проходит только через нижнюю ветвь, где находится одна лампа. Общее сопротивление цепи $R_{разомк}$ равно сопротивлению этой лампы:
$R_{разомк} = R$

Согласно закону Ома для полной цепи, показания амперметра $I_{разомк}$ будут:
$I_{разомк} = \frac{U}{R_{разомк}} = \frac{U}{R}$

2. Ключ замкнут.

При замыкании ключа ток течет по двум параллельным ветвям.

Сопротивление верхней ветви, состоящей из двух последовательно соединенных ламп, равно:
$R_{верх} = R + R = 2R$

Сопротивление нижней ветви, состоящей из одной лампы, равно:
$R_{нижн} = R$

Общее сопротивление цепи $R_{замк}$ при параллельном соединении этих двух ветвей находится по формуле:
$\frac{1}{R_{замк}} = \frac{1}{R_{верх}} + \frac{1}{R_{нижн}} = \frac{1}{2R} + \frac{1}{R}$

Приводя к общему знаменателю, получаем:
$\frac{1}{R_{замк}} = \frac{1}{2R} + \frac{2}{2R} = \frac{3}{2R}$

Отсюда, общее сопротивление цепи:
$R_{замк} = \frac{2R}{3}$

Показания амперметра $I_{замк}$ в этом случае:
$I_{замк} = \frac{U}{R_{замк}} = \frac{U}{\frac{2R}{3}} = \frac{3U}{2R}$

3. Отношение показаний амперметра.

Чтобы найти, во сколько раз различаются показания, разделим ток при замкнутом ключе на ток при разомкнутом ключе:
$\frac{I_{замк}}{I_{разомк}} = \frac{\frac{3U}{2R}}{\frac{U}{R}} = \frac{3U}{2R} \cdot \frac{R}{U}$

Сокращая одинаковые множители $U$ и $R$, получаем:
$\frac{I_{замк}}{I_{разомк}} = \frac{3}{2} = 1.5$

Ответ: показания амперметра различаются в 1,5 раза.

55.21° [1378°]

Амперметр, включённый в цепь, состоящую из источника тока и электрической лампы 1, показывает некоторую силу тока. Как изменится показание амперметра, если в эту цепь включить ещё одну лампу 2 (рис. VII-72)?

Рис. VII-72

Решение

Изначально цепь состоит из источника тока, амперметра и одной лампы 1. Амперметр включен в общую (неразветвленную) часть цепи и измеряет полный ток. Обозначим сопротивление первой лампы как $R_1$. Полное сопротивление внешней цепи в этом случае равно $R_1$. Согласно закону Ома, сила тока $I_1$, которую показывает амперметр, равна:

$I_1 = \frac{U}{R_1}$

где $U$ — напряжение, создаваемое источником тока (будем считать его постоянным).

Далее в цепь параллельно первой лампе подключают вторую лампу 2 с сопротивлением $R_2$. При параллельном соединении проводников их общее сопротивление $R_{общ}$ всегда меньше наименьшего из сопротивлений, входящих в данное соединение. Общее сопротивление двух ламп рассчитывается по формуле:

$\frac{1}{R_{общ}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$

Из этой формулы следует, что $R_{общ} < R_1$ и $R_{общ} < R_2$.

Таким образом, после подключения второй лампы общее сопротивление внешней цепи уменьшилось.

Новый ток $I_2$, который будет протекать через амперметр, согласно закону Ома, будет равен:

$I_2 = \frac{U}{R_{общ}}$

Поскольку знаменатель дроби уменьшился ($R_{общ} < R_1$), а числитель ($U$) остался прежним, значение всей дроби увеличится. Следовательно, $I_2 > I_1$.

Ответ: Показание амперметра увеличится.

55.22 [1379] Кусок проволоки сопротивлением 10 $\Omega$ разрезали пополам и полученные половины соединили параллельно. Чему равно их общее сопротивление?

Дано:

Сопротивление целой проволоки $R_0 = 10$ Ом.

Найти:

Общее сопротивление $R_{общ}$ двух половин проволоки, соединенных параллельно.

Решение:

Сопротивление проводника определяется формулой $R = \rho \frac{l}{S}$, где $\rho$ — удельное сопротивление материала, $l$ — длина, а $S$ — площадь поперечного сечения.

Когда мы разрезаем проволоку пополам, мы уменьшаем ее длину $l$ в два раза, при этом удельное сопротивление $\rho$ и площадь поперечного сечения $S$ остаются неизменными. Следовательно, сопротивление каждой из двух половин ($R_1$ и $R_2$) будет в два раза меньше исходного сопротивления $R_0$.

$R_1 = R_2 = \frac{R_0}{2} = \frac{10 \text{ Ом}}{2} = 5$ Ом.

Теперь эти две половины с сопротивлениями $R_1$ и $R_2$ соединяют параллельно. Формула для расчета общего сопротивления при параллельном соединении двух проводников:

$\frac{1}{R_{общ}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$

Подставим значения сопротивлений $R_1$ и $R_2$:

$\frac{1}{R_{общ}} = \frac{1}{5 \text{ Ом}} + \frac{1}{5 \text{ Ом}} = \frac{2}{5 \text{ Ом}}$

Теперь выразим из этой формулы $R_{общ}$:

$R_{общ} = \frac{5}{2}$ Ом = $2,5$ Ом.

Ответ: общее сопротивление равно 2,5 Ом.

55.23 [1380] Кусок проволоки сопротивлением 80 $\Omega$ разрезали на четыре равные части и полученные участки соединили параллельно. Чему равно их общее сопротивление?

Дано:

Сопротивление целого куска проволоки, $R = 80$ Ом
Количество равных частей, на которые разрезали проволоку, $n = 4$

Найти:

Общее сопротивление полученных участков при их параллельном соединении, $R_{общ}$ - ?

Решение:

Сопротивление проводника прямо пропорционально его длине. Так как проволоку разрезали на четыре равные части, то длина каждой части стала в четыре раза меньше исходной. Соответственно, и сопротивление каждой такой части ($R_1$) будет в четыре раза меньше общего сопротивления $R$.

Найдем сопротивление одного участка:
$R_1 = \frac{R}{n} = \frac{80 \text{ Ом}}{4} = 20 \text{ Ом}$.

При параллельном соединении проводников величина, обратная общему сопротивлению, равна сумме величин, обратных сопротивлениям каждого проводника. Для $n$ одинаковых проводников с сопротивлением $R_1$ формула для общего сопротивления $R_{общ}$ выглядит так:
$\frac{1}{R_{общ}} = \frac{n}{R_1}$
Отсюда:
$R_{общ} = \frac{R_1}{n}$.

Теперь мы можем рассчитать общее сопротивление для четырех параллельно соединенных участков, каждый из которых имеет сопротивление 20 Ом:
$R_{общ} = \frac{20 \text{ Ом}}{4} = 5 \text{ Ом}$.

Можно также вывести общую формулу. Если сопротивление одного куска $R_1 = R/n$, а общее сопротивление при параллельном соединении $R_{общ} = R_1/n$, то, подставив первое во второе, получим:
$R_{общ} = \frac{R/n}{n} = \frac{R}{n^2}$.
Проверим расчет по этой формуле:
$R_{общ} = \frac{80 \text{ Ом}}{4^2} = \frac{80 \text{ Ом}}{16} = 5 \text{ Ом}$.

Ответ: общее сопротивление равно 5 Ом.

55.24 [1381] Медный проводник сопротивлением 10 Ом разрезали на 5 равных частей и эти части соединили параллельно. Определите сопротивление этого соединения.

Дано:

Исходное сопротивление проводника, $R_{общ} = 10 \text{ Ом}$
Количество равных частей, $n = 5$

Найти:

Общее сопротивление параллельного соединения, $R_{пар}$ - ?

Решение:

Сопротивление однородного проводника определяется по формуле:

$R = \rho \frac{L}{S}$

где $\rho$ — удельное сопротивление материала, $L$ — длина проводника, а $S$ — площадь его поперечного сечения.

Когда проводник разрезают на $n$ равных частей, его общая длина $L$ делится на $n$ частей. Длина каждой части $L_1$ становится:

$L_1 = \frac{L}{n}$

Так как сопротивление прямо пропорционально длине, то сопротивление каждой из $n$ частей ($R_1$) будет в $n$ раз меньше исходного сопротивления $R_{общ}$:

$R_1 = \frac{R_{общ}}{n}$

В нашем случае $n=5$, поэтому сопротивление каждой из пяти частей равно:

$R_1 = \frac{10 \text{ Ом}}{5} = 2 \text{ Ом}$

Далее эти пять частей соединяют параллельно. Общее сопротивление $R_{пар}$ для $n$ одинаковых резисторов, соединенных параллельно, вычисляется по формуле:

$\frac{1}{R_{пар}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_1} + ... + \frac{1}{R_1} = \frac{n}{R_1}$

Отсюда:

$R_{пар} = \frac{R_1}{n}$

Подставляем численные значения сопротивления одной части $R_1$ и их количества $n$:

$R_{пар} = \frac{2 \text{ Ом}}{5} = 0.4 \text{ Ом}$

Также можно вывести общую формулу. Подставив выражение для $R_1$ в формулу для $R_{пар}$, получим:

$R_{пар} = \frac{R_{общ}/n}{n} = \frac{R_{общ}}{n^2}$

Проверим расчет по этой формуле:

$R_{пар} = \frac{10 \text{ Ом}}{5^2} = \frac{10 \text{ Ом}}{25} = 0.4 \text{ Ом}$

Ответ: сопротивление этого соединения равно $0.4 \text{ Ом}$.

55.25* [1382*] К проводнику, сопротивление которого 1 кОм, параллельно подключили проводник сопротивлением 1 Ом. Докажите, что общее их сопротивление будет меньше 1 Ом.

Дано:

Сопротивление первого проводника $R_1 = 1 \text{ кОм}$
Сопротивление второго проводника $R_2 = 1 \text{ Ом}$
Тип соединения — параллельное.

Перевод в СИ:

$R_1 = 1 \times 10^3 \text{ Ом} = 1000 \text{ Ом}$

Найти:

Доказать, что общее сопротивление $R_{общ} < 1 \text{ Ом}$.

Решение:

При параллельном соединении проводников величина, обратная общему сопротивлению (общая проводимость), равна сумме величин, обратных сопротивлениям каждого проводника (сумме проводимостей):

$\frac{1}{R_{общ}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$

Для двух проводников эту формулу можно преобразовать к виду:

$R_{общ} = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2}$

Подставим числовые значения сопротивлений $R_1 = 1000 \text{ Ом}$ и $R_2 = 1 \text{ Ом}$:

$R_{общ} = \frac{1000 \text{ Ом} \cdot 1 \text{ Ом}}{1000 \text{ Ом} + 1 \text{ Ом}} = \frac{1000}{1001} \text{ Ом}$

Теперь необходимо сравнить полученное значение общего сопротивления с 1 Ом.

Мы получили дробь $\frac{1000}{1001}$. В этой дроби числитель (1000) меньше знаменателя (1001). Такая дробь называется правильной, и её значение всегда меньше единицы.

$\frac{1000}{1001} < 1$

Следовательно, мы доказали, что общее сопротивление $R_{общ}$ меньше 1 Ом.

Это утверждение также является следствием общего свойства параллельного соединения: общее сопротивление участка цепи при параллельном соединении всегда меньше наименьшего из сопротивлений, входящих в этот участок. В данном случае наименьшее сопротивление - это $R_2 = 1 \text{ Ом}$, поэтому $R_{общ}$ заведомо будет меньше 1 Ом.

Ответ:

Общее сопротивление цепи равно $R_{общ} = \frac{1000}{1001} \text{ Ом}$. Поскольку $1000 < 1001$, то значение дроби $\frac{1000}{1001}$ меньше 1. Таким образом, доказано, что общее сопротивление двух проводников меньше 1 Ом.

55.26 [1383] Напряжение в сети 120 В. Сопротивление каждой из двух электрических ламп, включённых в эту сеть, равно 240 Ом. Определите силу тока в каждой лампе при последовательном и параллельном их включении.

Дано:

Напряжение сети $U = 120 \text{ В}$

Сопротивление первой лампы $R_1 = 240 \text{ Ом}$

Сопротивление второй лампы $R_2 = 240 \text{ Ом}$

Найти:

Силу тока в каждой лампе при последовательном включении - $I_{посл}$

Силу тока в каждой лампе при параллельном включении - $I_{пар}$

Решение:

Рассмотрим два случая подключения ламп к сети.

1. Последовательное включение

При последовательном соединении общее сопротивление цепи равно сумме сопротивлений её отдельных элементов. Поскольку лампы одинаковые ($R_1 = R_2 = R$), общее сопротивление будет:

$R_{общ.посл} = R_1 + R_2 = 240 \text{ Ом} + 240 \text{ Ом} = 480 \text{ Ом}$

Сила тока в цепи при последовательном соединении одинакова на всех участках. Для её нахождения воспользуемся законом Ома для всей цепи:

$I_{посл} = \frac{U}{R_{общ.посл}}$

Подставим числовые значения:

$I_{посл} = \frac{120 \text{ В}}{480 \text{ Ом}} = 0.25 \text{ А}$

Следовательно, сила тока в каждой из ламп при последовательном включении составляет 0,25 А.

Ответ: сила тока в каждой лампе при последовательном включении равна 0,25 А.

2. Параллельное включение

При параллельном соединении напряжение на каждой из параллельных ветвей одинаково и равно напряжению в сети:

$U_1 = U_2 = U = 120 \text{ В}$

Силу тока в каждой лампе можно найти, применив закон Ома для соответствующего участка цепи (для каждой лампы). Так как сопротивления ламп и напряжение на них одинаковы, то и сила тока, протекающего через каждую лампу, будет одинаковой:

$I_{пар} = \frac{U}{R_1} = \frac{U}{R_2}$

Подставим числовые значения:

$I_{пар} = \frac{120 \text{ В}}{240 \text{ Ом}} = 0.5 \text{ А}$

Следовательно, сила тока в каждой из ламп при параллельном включении составляет 0,5 А.

Ответ: сила тока в каждой лампе при параллельном включении равна 0,5 А.

55.27 [1384] В цепь включены параллельно два проводника. Сопротивление одного равно 150 Ом, другого — 30 Ом. В каком проводнике сила тока больше? во сколько раз?

Дано:

Сопротивление первого проводника: $R_1 = 150$ Ом
Сопротивление второго проводника: $R_2 = 30$ Ом
Тип соединения проводников: параллельное

Найти:

1. В каком проводнике сила тока больше?
2. Во сколько раз больше? (найти отношение $\frac{I_{больший}}{I_{меньший}}$)

Решение:

При параллельном соединении проводников напряжение $U$ на концах каждого из них одинаково:
$U_1 = U_2 = U$

Согласно закону Ома для участка цепи, сила тока $I$ в проводнике определяется по формуле:
$I = \frac{U}{R}$

Запишем выражения для силы тока в каждом из проводников:
Сила тока в первом проводнике: $I_1 = \frac{U}{R_1}$
Сила тока во втором проводнике: $I_2 = \frac{U}{R_2}$

Из этих формул следует, что при одинаковом напряжении ($U = \text{const}$) сила тока обратно пропорциональна сопротивлению ($I \propto \frac{1}{R}$). Это означает, что сила тока будет больше в том проводнике, у которого сопротивление меньше.

Сравним сопротивления проводников: $R_1 = 150$ Ом, а $R_2 = 30$ Ом.
Поскольку $R_2 < R_1$ ($30 \text{ Ом} < 150 \text{ Ом}$), то сила тока во втором проводнике будет больше, чем в первом ($I_2 > I_1$).

Чтобы определить, во сколько раз сила тока во втором проводнике больше, чем в первом, найдем их отношение $\frac{I_2}{I_1}$:
$\frac{I_2}{I_1} = \frac{U/R_2}{U/R_1} = \frac{U}{R_2} \cdot \frac{R_1}{U} = \frac{R_1}{R_2}$

Подставим числовые значения сопротивлений:
$\frac{I_2}{I_1} = \frac{150 \text{ Ом}}{30 \text{ Ом}} = 5$

Ответ: Сила тока больше в проводнике с сопротивлением 30 Ом. Она больше в 5 раз.

55.28 [1385] В цепь (рис. VII-73) включены две одинаковые лампы. При замкнутых выключателях 1 и 2 амперметр $A$ показывает силу тока $3 \text{ А}$. Что покажет амперметр $A2$, если выключатель 1 разомкнуть? (В цепи постоянное напряжение.)

Рис. VII-73

Дано:

$I_{\text{общ}} = 3$ А (общий ток при замкнутых выключателях 1 и 2)
$R_1 = R_2 = R$ (сопротивления ламп одинаковы)
$U = \text{const}$ (напряжение в цепи постоянно)

Найти:

$I_{A2}'$ — показание амперметра А2 после размыкания выключателя 1.

Решение:

1. Рассмотрим состояние цепи, когда оба выключателя, 1 и 2, замкнуты. Две одинаковые лампы соединены параллельно. При параллельном соединении напряжение на обеих лампах одинаково и равно напряжению источника $U$.

2. Общий ток в цепи, который показывает амперметр A, равен сумме токов в параллельных ветвях (согласно первому правилу Кирхгофа):
$I_{\text{общ}} = I_1 + I_2$, где $I_1$ — ток через первую лампу (измеряется амперметром А1), а $I_2$ — ток через вторую лампу (измеряется амперметром А2).

3. Поскольку лампы одинаковые ($R_1 = R_2 = R$) и напряжение на них одинаково ($U$), то по закону Ома ($I = U/R$) токи, протекающие через них, также будут равны:
$I_1 = I_2$.

4. Таким образом, общий ток можно выразить как:
$I_{\text{общ}} = I_1 + I_2 = 2 \cdot I_2$.

5. Зная, что общий ток $I_{\text{общ}} = 3$ А, найдем ток $I_2$, который показывает амперметр А2 в начальном состоянии:
$I_2 = \frac{I_{\text{общ}}}{2} = \frac{3 \text{ А}}{2} = 1.5 \text{ А}$.

6. Теперь рассмотрим состояние, когда выключатель 1 разомкнут. Верхняя ветвь цепи разрывается, и ток через первую лампу прекращается ($I_1' = 0$).

7. Нижняя ветвь со второй лампой и амперметром А2 остается подключенной к источнику напряжения $U$. Так как по условию напряжение в цепи постоянно, а сопротивление второй лампы не изменилось, то ток, протекающий через нее, останется прежним.

8. Следовательно, показание амперметра А2 после размыкания выключателя 1 ($I_{A2}'$) будет равно току, который протекал через него, когда оба выключателя были замкнуты:
$I_{A2}' = I_2 = 1.5 \text{ А}$.

Ответ: амперметр А2 покажет 1.5 А.