Номер 6, страница 102 - гдз по физике 7 класс дидактические материалы Марон, Марон

Контрольные работы. КР-3. Архимедова сила. Вариант 2 - номер 6, страница 102.

Условие.

6. Пробковый спасательный круг имеет массу 12 кг. Чему равна масса груза, который поддерживается этим кругом, если круг погружается в воду наполовину?

Решение.

Дано:

Масса пробкового спасательного круга, $m_{круга} = 12$ кг

Доля погруженного объема, $k = \frac{V_{погр}}{V} = \frac{1}{2}$

Плотность пробки (табличное значение), $\rho_{пробки} = 240$ кг/м³

Плотность воды, $\rho_{воды} = 1000$ кг/м³

Найти:

Масса груза, $m_{груза}$

Решение:

Когда спасательный круг с грузом плавает в воде, он находится в состоянии равновесия. Это означает, что суммарная сила тяжести, действующая на круг и груз, уравновешена выталкивающей силой (силой Архимеда), действующей на погруженную часть круга.

Условие равновесия можно записать в виде равенства сил:

$F_{тяж} = F_{А}$

Полная сила тяжести $F_{тяж}$ складывается из силы тяжести круга и силы тяжести груза:

$F_{тяж} = (m_{круга} + m_{груза}) \cdot g$, где $\text{g}$ - ускорение свободного падения.

Сила Архимеда $F_{А}$ равна весу вытесненной жидкости (воды) и рассчитывается по формуле:

$F_{А} = \rho_{воды} \cdot g \cdot V_{погр}$, где $V_{погр}$ - объем погруженной части круга.

Согласно условию, круг погружен в воду наполовину своего полного объема $\text{V}$, следовательно, $V_{погр} = \frac{1}{2} V$.

Приравняем выражения для силы тяжести и силы Архимеда:

$(m_{круга} + m_{груза}) \cdot g = \rho_{воды} \cdot g \cdot \frac{V}{2}$

Ускорение свободного падения $\text{g}$ присутствует в обеих частях уравнения, поэтому его можно сократить:

$m_{круга} + m_{груза} = \rho_{воды} \cdot \frac{V}{2}$

Полный объем спасательного круга $\text{V}$ нам неизвестен, но его можно выразить через массу круга $m_{круга}$ и плотность материала, из которого он изготовлен (пробки, $\rho_{пробки}$):

$V = \frac{m_{круга}}{\rho_{пробки}}$

Подставим это выражение для объема в наше уравнение равновесия:

$m_{круга} + m_{груза} = \rho_{воды} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{m_{круга}}{\rho_{пробки}}$

Из этого уравнения выразим искомую массу груза $m_{груза}$:

$m_{груза} = \frac{\rho_{воды} \cdot m_{круга}}{2 \cdot \rho_{пробки}} - m_{круга}$

Теперь можно подставить числовые значения:

$m_{груза} = \frac{1000 \text{ кг/м³} \cdot 12 \text{ кг}}{2 \cdot 240 \text{ кг/м³}} - 12 \text{ кг}$

$m_{груза} = \frac{12000}{480} \text{ кг} - 12 \text{ кг}$

$m_{груза} = 25 \text{ кг} - 12 \text{ кг}$

$m_{груза} = 13 \text{ кг}$

Ответ: масса груза, который поддерживается кругом, равна 13 кг.