Номер 124, страница 18 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

7 класс. Масса тела. Плотность вещества - номер 124, страница 18.

Условие.

124. Кусок кварца, содержащий небольшой самородок золота, имеет массу $100 \text{ г}$, а его плотность $8 \text{ г/см}^3$. Определите массу золота, содержащегося в кварце.

Решение.

Дано:

Масса куска кварца с золотом: $m = 100 \text{ г}$

Плотность куска: $\\rho= 8 \text{ г/см}^3$

Для решения задачи потребуются справочные данные:

Плотность золота: $\rho_{з} = 19.3 \text{ г/см}^3$

Плотность кварца: $\rho_{к} = 2.65 \text{ г/см}^3$

Перевод в систему СИ:

$m = 100 \text{ г} = 0.1 \text{ кг}$

$\\rho= 8 \text{ г/см}^3 = 8 \cdot \frac{10^{-3} \text{ кг}}{(10^{-2} \text{ м})^3} = 8 \cdot \frac{10^{-3}}{10^{-6}} \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} = 8000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

$\rho_{з} = 19.3 \text{ г/см}^3 = 19300 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

$\rho_{к} = 2.65 \text{ г/см}^3 = 2650 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Найти:

$m_{з}$ — массу золота.

Решение:

Обозначим массу золота как $m_{з}$ и массу кварца как $m_{к}$. Общая масса куска $\text{m}$ является суммой масс его составляющих:

$m = m_{к} + m_{з}$

Отсюда можно выразить массу кварца:

$m_{к} = m - m_{з}$

Аналогично, общий объем куска $\text{V}$ складывается из объема кварца $V_{к}$ и объема золота $V_{з}$:

$V = V_{к} + V_{з}$

Используя формулу плотности $\\rho= \frac{m}{V}$, выразим объем каждой составляющей и всего куска через массу и плотность: $V = \frac{m}{\rho}$.

Подставим эти выражения в уравнение для объемов:

$\frac{m}{\rho} = \frac{m_{к}}{\rho_{к}} + \frac{m_{з}}{\rho_{з}}$

Теперь в это уравнение подставим выражение для массы кварца $m_{к} = m - m_{з}$:

$\frac{m}{\rho} = \frac{m - m_{з}}{\rho_{к}} + \frac{m_{з}}{\rho_{з}}$

Мы получили уравнение с одной неизвестной – массой золота $m_{з}$. Решим это уравнение относительно $m_{з}$.

Разделим дробь в правой части:

$\frac{m}{\rho} = \frac{m}{\rho_{к}} - \frac{m_{з}}{\rho_{к}} + \frac{m_{з}}{\rho_{з}}$

Сгруппируем члены, содержащие $m_{з}$, в одной части уравнения, а остальные — в другой:

$\frac{m_{з}}{\rho_{к}} - \frac{m_{з}}{\rho_{з}} = \frac{m}{\rho_{к}} - \frac{m}{\rho}$

Вынесем $m_{з}$ и $\text{m}$ за скобки:

$m_{з} \cdot (\frac{1}{\rho_{к}} - \frac{1}{\rho_{з}}) = m \cdot (\frac{1}{\rho_{к}} - \frac{1}{\rho})$

Отсюда выражаем искомую массу золота $m_{з}$:

$m_{з} = m \cdot \frac{\frac{1}{\rho_{к}} - \frac{1}{\rho}}{\frac{1}{\rho_{к}} - \frac{1}{\rho_{з}}}$

Подставим числовые значения. Расчеты удобнее проводить в исходных единицах (г и г/см³), так как система единиц согласована.

$m_{з} = 100 \text{ г} \cdot \frac{\frac{1}{2.65 \text{ г/см}^3} - \frac{1}{8 \text{ г/см}^3}}{\frac{1}{2.65 \text{ г/см}^3} - \frac{1}{19.3 \text{ г/см}^3}}$

Вычислим значения обратных плотностей:

$\frac{1}{2.65} \approx 0.3774$

$\frac{1}{8} = 0.125$

$\frac{1}{19.3} \approx 0.0518$

Подставим эти значения в формулу:

$m_{з} = 100 \cdot \frac{0.3774 - 0.125}{0.3774 - 0.0518} = 100 \cdot \frac{0.2524}{0.3256}$

$m_{з} \approx 100 \cdot 0.7752$

$m_{з} \approx 77.52 \text{ г}$

Ответ: масса золота, содержащегося в кварце, составляет примерно 77.52 г.