Номер 122, страница 17 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

7 класс. Масса тела. Плотность вещества - номер 122, страница 17.

Условие.

122. Лаборант получил смесь двух растворов соли, слив в один сосуд 180 мл первого раствора плотностью $\text{1200 кг/м}^3$ и 120 мл раствора, плотность которого забыл измерить. Плотность смеси оказалась равной $\text{1150 кг/м}^3$. Какой была плотность второго раствора?

Решение.

Дано:

Объём первого раствора, $V_1 = 180 \text{ мл}$
Плотность первого раствора, $ρ_1 = 1200 \text{ кг/м}^3$
Объём второго раствора, $V_2 = 120 \text{ мл}$
Плотность смеси, $ρ_{смеси} = 1150 \text{ кг/м}^3$

Перевод в систему СИ:
$V_1 = 180 \text{ мл} = 180 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3 = 0.00018 \text{ м}^3$
$V_2 = 120 \text{ мл} = 120 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3 = 0.00012 \text{ м}^3$

Найти:

$ρ_2$ - плотность второго раствора.

Решение:

Плотность смеси определяется как отношение общей массы смеси к её общему объёму. Общая масса смеси $m_{общ}$ равна сумме масс составляющих её растворов ($m_1$ и $m_2$), а общий объём $V_{общ}$ равен сумме их объёмов ($V_1$ и $V_2$), так как при смешивании жидкостей их объёмы складываются.

$ρ_{смеси} = \frac{m_{общ}}{V_{общ}} = \frac{m_1 + m_2}{V_1 + V_2}$

Массу каждого раствора можно выразить через его плотность и объём по формуле $m = ρV$. Таким образом, $m_1 = ρ_1 V_1$ и $m_2 = ρ_2 V_2$.

Подставим эти выражения в формулу для плотности смеси:

$ρ_{смеси} = \frac{ρ_1 V_1 + ρ_2 V_2}{V_1 + V_2}$

Наша задача — найти $ρ_2$. Для этого выразим $ρ_2$ из полученной формулы. Сначала умножим обе части уравнения на $(V_1 + V_2)$:

$ρ_{смеси} \cdot (V_1 + V_2) = ρ_1 V_1 + ρ_2 V_2$

Теперь выразим слагаемое, содержащее $ρ_2$:

$ρ_2 V_2 = ρ_{смеси} \cdot (V_1 + V_2) - ρ_1 V_1$

И, наконец, разделим обе части на $V_2$:

$ρ_2 = \frac{ρ_{смеси} \cdot (V_1 + V_2) - ρ_1 V_1}{V_2}$

Подставим числовые значения в полученную формулу. Можно использовать объёмы как в $м^3$, так и в $мл$, так как единицы измерения объёма сократятся. Использование $мл$ упростит вычисления:

$ρ_2 = \frac{1150 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot (180 \text{ мл} + 120 \text{ мл}) - 1200 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 180 \text{ мл}}{120 \text{ мл}}$

$ρ_2 = \frac{1150 \cdot 300 - 1200 \cdot 180}{120} \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

$ρ_2 = \frac{345000 - 216000}{120} \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

$ρ_2 = \frac{129000}{120} \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

$ρ_2 = 1075 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Ответ: плотность второго раствора была равна $1075 \text{ кг/м}^3$.