Номер 117, страница 17 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

7 класс. Масса тела. Плотность вещества - номер 117, страница 17.

Условие.

117. Стальной и алюминиевый стержни имеют массу по 2 кг и площади поперечного сечения $4 \text{ см}^2$. Какой из стержней длиннее и на сколько?

Решение.

Дано:

Масса стального стержня, $m_{ст} = 2$ кг

Масса алюминиевого стержня, $m_{ал} = 2$ кг

Площадь поперечного сечения стального стержня, $S_{ст} = 4$ см$^2$

Площадь поперечного сечения алюминиевого стержня, $S_{ал} = 4$ см$^2$

Плотность стали (справочное значение), $\rho_{ст} = 7800$ кг/м$^3$

Плотность алюминия (справочное значение), $\rho_{ал} = 2700$ кг/м$^3$

Перевод в систему СИ:
Поскольку массы и площади сечения у стержней одинаковы, обозначим их как $\text{m}$ и $\text{S}$.
$m = 2$ кг
$S = 4 \text{ см}^2 = 4 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 4 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$

Найти:

Какой из стержней длиннее и на сколько? Найти разницу длин $\Delta L$.

Решение:

Масса тела связана с его плотностью и объемом по формуле:

$m = \\rho\cdot V$

Объем стержня, имеющего форму цилиндра, можно выразить через его длину $\text{L}$ и площадь поперечного сечения $\text{S}$:

$V = S \cdot L$

Объединив эти две формулы, получим выражение для массы стержня:

$m = \\rho\cdot S \cdot L$

Из этой формулы выразим длину стержня $\text{L}$:

$L = \frac{m}{\\rho\cdot S}$

Так как по условию задачи масса $\text{m}$ и площадь поперечного сечения $\text{S}$ у обоих стержней одинаковы, их длина $\text{L}$ обратно пропорциональна плотности материала $\rho$. Это означает, что стержень из материала с меньшей плотностью будет иметь большую длину.

Сравним плотности стали и алюминия:

$\rho_{ал} = 2700 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} < \rho_{ст} = 7800 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Поскольку плотность алюминия меньше плотности стали, алюминиевый стержень при тех же массе и площади сечения будет длиннее стального.

Теперь вычислим длины каждого стержня, чтобы найти, на сколько один длиннее другого.

Длина стального стержня:

$L_{ст} = \frac{m}{\rho_{ст} \cdot S} = \frac{2 \text{ кг}}{7800 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 4 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2} = \frac{2}{3.12} \text{ м} \approx 0.641$ м

Длина алюминиевого стержня:

$L_{ал} = \frac{m}{\rho_{ал} \cdot S} = \frac{2 \text{ кг}}{2700 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 4 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2} = \frac{2}{1.08} \text{ м} \approx 1.852$ м

Найдем разницу в длинах стержней:

$\Delta L = L_{ал} - L_{ст} \approx 1.852 \text{ м} - 0.641 \text{ м} \approx 1.211$ м

Ответ:

Алюминиевый стержень длиннее стального примерно на 1.21 м.