Номер 120, страница 17 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

7 класс. Масса тела. Плотность вещества - номер 120, страница 17.

Условие.

120. Ученик измерил плотность деревянного бруска, покрытого краской, и она оказалась равной $600 \text{ кг}/\text{м}^3$. Но на самом деле брусок состоит из двух частей, равных по массе, плотность одной из которых в два раза больше плотности другой. Найдите плотности обеих частей бруска. Массой краски можно пренебречь.

Решение.

Дано:

Средняя плотность бруска, $\rho_{ср} = 600$ кг/м³.

Масса первой части бруска $m_1$.

Масса второй части бруска $m_2$.

Плотность первой части бруска $\rho_1$.

Плотность второй части бруска $\rho_2$.

По условию, массы частей равны: $m_1 = m_2$.

Плотность одной части в два раза больше плотности другой: $\rho_2 = 2\rho_1$.

Найти:

$\rho_1$ — ?

$\rho_2$ — ?

Решение:

Средняя плотность тела определяется как отношение его полной массы $\text{M}$ к его полному объему $\text{V}$:

$\rho_{ср} = \frac{M}{V}$

Полная масса бруска $\text{M}$ равна сумме масс его частей:

$M = m_1 + m_2$

Полный объем бруска $\text{V}$ равен сумме объемов его частей:

$V = V_1 + V_2$

По условию, массы частей равны. Обозначим массу каждой части как $\text{m}$. Тогда $m_1 = m_2 = m$, а полная масса бруска $M = m + m = 2m$.

Объемы каждой из частей можно выразить через их массу и плотность:

$V_1 = \frac{m_1}{\rho_1} = \frac{m}{\rho_1}$

$V_2 = \frac{m_2}{\rho_2} = \frac{m}{\rho_2}$

Тогда полный объем бруска:

$V = V_1 + V_2 = \frac{m}{\rho_1} + \frac{m}{\rho_2}$

Теперь подставим выражения для полной массы и полного объема в формулу средней плотности:

$\rho_{ср} = \frac{2m}{\frac{m}{\rho_1} + \frac{m}{\rho_2}}$

Сократим $\text{m}$ в числителе и знаменателе:

$\rho_{ср} = \frac{2}{\frac{1}{\rho_1} + \frac{1}{\rho_2}}$

Используем условие, что $\rho_2 = 2\rho_1$:

$\rho_{ср} = \frac{2}{\frac{1}{\rho_1} + \frac{1}{2\rho_1}}$

Приведем дроби в знаменателе к общему знаменателю:

$\rho_{ср} = \frac{2}{\frac{2}{2\rho_1} + \frac{1}{2\rho_1}} = \frac{2}{\frac{3}{2\rho_1}}$

Упростим выражение:

$\rho_{ср} = \frac{2 \cdot 2\rho_1}{3} = \frac{4\rho_1}{3}$

Отсюда выразим $\rho_1$:

$\rho_1 = \frac{3 \cdot \rho_{ср}}{4}$

Подставим числовое значение средней плотности:

$\rho_1 = \frac{3 \cdot 600 \text{ кг/м}^3}{4} = 3 \cdot 150 \text{ кг/м}^3 = 450 \text{ кг/м}^3$

Теперь найдем плотность второй части:

$\rho_2 = 2\rho_1 = 2 \cdot 450 \text{ кг/м}^3 = 900 \text{ кг/м}^3$

Ответ: Плотность одной части бруска равна $450$ кг/м³, а плотность другой части — $900$ кг/м³.