Номер 125, страница 18 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

7 класс. Масса тела. Плотность вещества - номер 125, страница 18.

Условие.

125. Из двух металлов изготовили сплав массой 12 кг. Плотность первого металла $4000 \text{ кг/м}^3$, второго – $8 \text{ г/см}^3$, а плотность сплава оказалась равной $6000 \text{ кг/м}^3$. Каковы массы металлов, входящих в сплав?

Решение.

Дано:

$m_{сп} = 12$ кг

$\rho_1 = 4000$ кг/м³

$\rho_2 = 8$ г/см³

$\rho_{сп} = 6000$ кг/м³

Перевод в систему СИ:

Плотность второго металла необходимо перевести в кг/м³.

$\rho_2 = 8 \frac{г}{см^3} = 8 \cdot \frac{10^{-3} кг}{(10^{-2} м)^3} = 8 \cdot \frac{10^{-3}}{10^{-6}} \frac{кг}{м^3} = 8 \cdot 10^3 \frac{кг}{м^3} = 8000$ кг/м³

Найти:

$m_1$ — ?

$m_2$ — ?

Решение:

Обозначим массы металлов, входящих в сплав, как $m_1$ и $m_2$, а их плотности — как $\rho_1$ и $\rho_2$ соответственно. Масса сплава $m_{сп}$ и его плотность $\rho_{сп}$ нам известны.

Масса всего сплава равна сумме масс его компонентов:

$m_{сп} = m_1 + m_2$

Из этого уравнения мы можем выразить массу второго металла через массу первого:

$m_2 = m_{сп} - m_1$ (1)

Предполагая, что объем сплава равен сумме объемов его компонентов, мы можем записать:

$V_{сп} = V_1 + V_2$

Используя основную формулу плотности $\\rho= \frac{m}{V}$, выразим объем каждого компонента и сплава в целом: $V = \frac{m}{\rho}$.

Подставим эти выражения в уравнение для объемов:

$\frac{m_{сп}}{\rho_{сп}} = \frac{m_1}{\rho_1} + \frac{m_2}{\rho_2}$ (2)

Теперь подставим выражение (1) в уравнение (2), чтобы получить уравнение с одной неизвестной $m_1$:

$\frac{m_{сп}}{\rho_{сп}} = \frac{m_1}{\rho_1} + \frac{m_{сп} - m_1}{\rho_2}$

Подставим известные числовые значения (все величины в СИ):

$\frac{12}{6000} = \frac{m_1}{4000} + \frac{12 - m_1}{8000}$

Чтобы решить это уравнение, приведем дроби в правой части к общему знаменателю 8000:

$\frac{12}{6000} = \frac{2 \cdot m_1}{8000} + \frac{12 - m_1}{8000}$

$\frac{12}{6000} = \frac{2m_1 + 12 - m_1}{8000}$

$\frac{12}{6000} = \frac{m_1 + 12}{8000}$

Сократим дробь в левой части:

$\frac{1}{500} = \frac{m_1 + 12}{8000}$

Теперь выразим числитель правой дроби:

$m_1 + 12 = \frac{8000}{500}$

$m_1 + 12 = 16$

Отсюда находим массу первого металла:

$m_1 = 16 - 12 = 4$ кг

Наконец, найдем массу второго металла, используя выражение (1):

$m_2 = 12 - m_1 = 12 - 4 = 8$ кг

Ответ: масса первого металла равна 4 кг, масса второго металла — 8 кг.