Номер 256, страница 32 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

7 класс. Сообщающиеся сосуды - номер 256, страница 32.

Условие.

256. В два сообщающихся сосуда, площадью поперечного сечения $2 \text{ см}^2$ каждый, залили ртуть до некоторого уровня. Затем в левый сосуд долили 50 г воды, а в правый – 25 г воды. После этого в левый сосуд добавили 30 г масла. Определите разность уровней ртути в сосудах.

Решение.

Дано:

Площадь поперечного сечения каждого сосуда, $S = 2 \text{ см}^2$
Масса воды, добавленной в левый сосуд, $m_{в1} = 50 \text{ г}$
Масса воды, добавленной в правый сосуд, $m_{в2} = 25 \text{ г}$
Масса масла, добавленного в левый сосуд, $m_{м} = 30 \text{ г}$
Плотность ртути (справочное значение), $\rho_{рт} = 13600 \text{ кг/м}^3$

Перевод в систему СИ:
$S = 2 \text{ см}^2 = 2 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$
$m_{в1} = 50 \text{ г} = 0.05 \text{ кг}$
$m_{в2} = 25 \text{ г} = 0.025 \text{ кг}$
$m_{м} = 30 \text{ г} = 0.03 \text{ кг}$

Найти:

Разность уровней ртути в сосудах, $\Delta h_{рт}$.

Решение:

Согласно закону сообщающихся сосудов, давление на одном и том же горизонтальном уровне в покоящейся однородной жидкости одинаково. После добавления воды и масла в сосуды, уровень ртути в левом сосуде опустится, а в правом — поднимется, так как суммарная масса добавленных жидкостей в левый сосуд ($50 \text{ г} + 30 \text{ г} = 80 \text{ г}$) больше, чем в правый ($25 \text{ г}$).

Выберем в качестве уровня для сравнения давлений горизонтальную плоскость, проходящую через границу раздела ртути и других жидкостей в левом сосуде (где уровень ртути ниже).

Давление $P_1$ на этом уровне в левом сосуде создается столбами добавленной воды и масла. Давление $P_2$ на этом же уровне в правом сосуде создается столбом добавленной воды и столбом ртути, высота которого равна искомой разности уровней $\Delta h_{рт}$. Атмосферное давление, действующее на поверхности жидкостей в обоих сосудах, одинаково, поэтому его можно не учитывать при сравнении давлений, создаваемых столбами жидкостей.

Условие равновесия: $P_1 = P_2$.

Давление, создаваемое жидкостью массой $\text{m}$ на дно сосуда площадью $\text{S}$, равно $P = \frac{F}{S} = \frac{mg}{S}$. Давление столба ртути высотой $\Delta h_{рт}$ равно $P_{рт} = \rho_{рт}g\Delta h_{рт}$. Тогда условие равновесия можно записать так:
$\frac{m_{в1}g}{S} + \frac{m_{м}g}{S} = \frac{m_{в2}g}{S} + \rho_{рт}g\Delta h_{рт}$

Сократим обе части уравнения на ускорение свободного падения $\text{g}$:
$\frac{m_{в1} + m_{м}}{S} = \frac{m_{в2}}{S} + \rho_{рт}\Delta h_{рт}$

Выразим из этого уравнения искомую разность уровней $\Delta h_{рт}$:
$\rho_{рт}\Delta h_{рт} = \frac{m_{в1} + m_{м} - m_{в2}}{S}$
$\Delta h_{рт} = \frac{m_{в1} + m_{м} - m_{в2}}{\rho_{рт}S}$

Для удобства проведем вычисления в системе СГС (сантиметр-грамм-секунда), так как исходные данные представлены в соответствующих единицах.
Плотность ртути в СГС: $\rho_{рт} = 13.6 \text{ г/см}^3$.
Подставим числовые значения:
$\Delta h_{рт} = \frac{50 \text{ г} + 30 \text{ г} - 25 \text{ г}}{13.6 \text{ г/см}^3 \cdot 2 \text{ см}^2} = \frac{55 \text{ г}}{27.2 \text{ г/см}} \approx 2.022 \text{ см}$

Округляя результат до двух значащих цифр (что соответствует точности исходных данных), получаем:
$\Delta h_{рт} \approx 2.0 \text{ см}$

Ответ: разность уровней ртути в сосудах составляет примерно 2.0 см.