Номер 252, страница 31 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

7 класс. Сообщающиеся сосуды - номер 252, страница 31.

Условие.

252. В сообщающиеся сосуды, площади поперечного сечения которых относятся как 1 : 2, налита вода. В узкий сосуд поверх воды долили столб керосина высотой 30 см. На сколько сантиметров повысится уровень воды в широком сосуде?

Решение.

Дано:

Отношение площадей поперечного сечения сосудов: $S_1/S_2 = 1/2$

Высота столба керосина: $h_к = 30$ см

Плотность воды (табличное значение): $\rho_в = 1000$ кг/м³

Плотность керосина (табличное значение): $\rho_к = 800$ кг/м³

$h_к = 30 \text{ см} = 0.3 \text{ м}$

Найти:

Высоту, на которую поднимется уровень воды в широком сосуде: $\Delta h_2$

Решение:

Пусть $S_1$ - площадь поперечного сечения узкого сосуда, а $S_2$ - широкого. По условию $S_2 = 2S_1$.

Когда в узкий сосуд доливают керосин, он вытесняет воду. Уровень воды в узком сосуде опустится на величину $\Delta h_1$, а в широком – поднимется на величину $\Delta h_2$. Поскольку объем воды сохраняется, объем воды, ушедшей из узкого сосуда, равен объему воды, прибывшей в широкий сосуд.

$V_1 = V_2$

$S_1 \cdot \Delta h_1 = S_2 \cdot \Delta h_2$

Подставим соотношение площадей $S_2 = 2S_1$:

$S_1 \cdot \Delta h_1 = 2S_1 \cdot \Delta h_2$

Отсюда находим связь между изменениями уровней воды:

$\Delta h_1 = 2 \Delta h_2$

После установления равновесия, согласно закону сообщающихся сосудов, давление на одном и том же горизонтальном уровне в жидкости должно быть одинаковым. Выберем в качестве такого уровня конечный уровень воды в узком сосуде (то есть границу раздела керосина и воды).

Давление на этом уровне в узком сосуде создается столбом керосина высотой $h_к$:

$p_1 = \rho_к g h_к$

Давление на этом же уровне в широком сосуде создается столбом воды, высота которого равна разности уровней воды в широком и узком сосудах. Эта разность равна $H = \Delta h_1 + \Delta h_2$.

$p_2 = \rho_в g H = \rho_в g (\Delta h_1 + \Delta h_2)$

В состоянии равновесия давления равны: $p_1 = p_2$.

$\rho_к g h_к = \rho_в g (\Delta h_1 + \Delta h_2)$

Сократим на $\text{g}$:

$\rho_к h_к = \rho_в (\Delta h_1 + \Delta h_2)$

Мы получили систему из двух уравнений:

$\begin{cases} \Delta h_1 = 2 \Delta h_2 \\ \rho_к h_к = \rho_в (\Delta h_1 + \Delta h_2) \end{cases}$

Подставим первое уравнение во второе:

$\rho_к h_к = \rho_в (2\Delta h_2 + \Delta h_2)$

$\rho_к h_к = 3\rho_в \Delta h_2$

Выразим искомую величину $\Delta h_2$:

$\Delta h_2 = \frac{\rho_к h_к}{3\rho_в}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$\Delta h_2 = \frac{800 \text{ кг/м³} \cdot 0.3 \text{ м}}{3 \cdot 1000 \text{ кг/м³}} = \frac{240}{3000} \text{ м} = 0.08 \text{ м}$

Переведем результат в сантиметры:

$0.08 \text{ м} = 8 \text{ см}$

Ответ: уровень воды в широком сосуде повысится на 8 см.