Номер 253, страница 31 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

7 класс. Сообщающиеся сосуды - номер 253, страница 31.

Условие.

253. U-образная трубка заполнена ртутью, водой и керосином (см. рисунок). Верхние уровни воды и керосина лежат на одной горизонтали. Зная, что разность уровней ртути 25 мм, найдите высоту столба воды.

Решение.

Дано:

$\Delta h_р = 25$ мм

$\rho_в = 1000$ кг/м³ (плотность воды)

$\rho_к = 800$ кг/м³ (плотность керосина)

$\rho_р = 13600$ кг/м³ (плотность ртути)

Перевод в систему СИ:

$\Delta h_р = 25 \text{ мм} = 0.025 \text{ м}$

Найти:

$h_в$ - ?

Решение:

В сообщающихся сосудах давление на любом горизонтальном уровне в покоящейся жидкости одинаково. Выберем горизонтальный уровень, проходящий через границу раздела воды и ртути в левом колене U-образной трубки. Давления $p_1$ и $p_2$ на этом уровне в левом и правом коленах соответственно равны.

Давление в левом колене $p_1$ создается столбом воды высотой $h_в$ и атмосферным давлением $p_{атм}$:

$p_1 = p_{атм} + \rho_в g h_в$

Давление в правом колене $p_2$ на том же уровне создается столбом керосина высотой $h_к$, столбом ртути высотой $\Delta h_р$ и атмосферным давлением $p_{атм}$:

$p_2 = p_{атм} + \rho_к g h_к + \rho_р g \Delta h_р$

Приравнивая давления ($p_1 = p_2$), получаем уравнение гидростатического равновесия:

$p_{атм} + \rho_в g h_в = p_{атм} + \rho_к g h_к + \rho_р g \Delta h_р$

Сократив одинаковые слагаемые ($p_{атм}$) и общий множитель ($\text{g}$), получим:

$\rho_в h_в = \rho_к h_к + \rho_р \Delta h_р$

Из условия задачи и рисунка следует, что верхние уровни воды и керосина находятся на одной горизонтали. Это означает, что высота столба воды $h_в$ равна сумме высоты столба керосина $h_к$ и разности уровней ртути $\Delta h_р$:

$h_в = h_к + \Delta h_р$

Из этого соотношения выразим высоту столба керосина:

$h_к = h_в - \Delta h_р$

Подставим полученное выражение для $h_к$ в уравнение равновесия давлений:

$\rho_в h_в = \rho_к (h_в - \Delta h_р) + \rho_р \Delta h_р$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые, чтобы выразить искомую высоту $h_в$:

$\rho_в h_в = \rho_к h_в - \rho_к \Delta h_р + \rho_р \Delta h_р$

$\rho_в h_в - \rho_к h_в = \Delta h_р (\rho_р - \rho_к)$

$h_в (\rho_в - \rho_к) = \Delta h_р (\rho_р - \rho_к)$

Отсюда находим окончательную формулу для расчета высоты столба воды:

$h_в = \frac{\Delta h_р (\rho_р - \rho_к)}{\rho_в - \rho_к}$

Подставим числовые значения в формулу:

$h_в = \frac{0.025 \text{ м} \cdot (13600 \text{ кг/м³} - 800 \text{ кг/м³})}{1000 \text{ кг/м³} - 800 \text{ кг/м³}} = \frac{0.025 \cdot 12800}{200} = \frac{320}{200} = 1.6 \text{ м}$

Ответ: высота столба воды составляет 1.6 м.