Номер 255, страница 32 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

7 класс. Сообщающиеся сосуды - номер 255, страница 32.

Условие.

255. В сосуд с водой опущена трубка квадратного сечения. В трубке с помощью нити удерживается стальной кубик (см. рисунок), ребро которого 1 см. На какой глубине $\text{H}$ установится кубик, если нить оборвется? Трение и зазор между трубкой и кубиком отсутствуют.

Решение.

Дано

Ребро кубика, $a = 1 \text{ см}$
Кубик стальной, плотность стали, $ρ_с = 7800 \text{ кг/м³}$
Жидкость - вода, плотность воды, $ρ_в = 1000 \text{ кг/м³}$

Перевод в систему СИ:
$a = 0.01 \text{ м}$

Найти:

$\text{H}$ - ?

Решение

После того как нить оборвется, кубик опустится на некоторую глубину $\text{H}$ и остановится. Это означает, что силы, действующие на кубик, скомпенсируют друг друга. Рассмотрим силы, действующие на кубик в вертикальном направлении.

1. Сила тяжести $F_т$, направленная вниз. Она равна произведению массы кубика $\text{m}$ на ускорение свободного падения $\text{g}$. $F_т = m \cdot g$ Массу кубика можно выразить через его плотность $ρ_с$ и объем $\text{V}$: $m = ρ_с \cdot V$ Объем кубика равен $V = a³$. Таким образом, сила тяжести: $F_т = ρ_с \cdot a³ \cdot g$

2. Сила давления воды на нижнюю грань кубика $F_{давл}$, направленная вверх. Поскольку по условию зазор между трубкой и кубиком отсутствует, вода давит только на нижнюю грань. Сила Архимеда в данном случае не действует в привычном понимании, так как вода не подтекает под боковые грани. Давление на глубине $\text{H}$ складывается из атмосферного давления $P_{атм}$ и гидростатического давления столба воды высотой $\text{H}$: $P_{низ} = P_{атм} + ρ_в \cdot g \cdot H$ Сила давления на нижнюю грань равна произведению этого давления на площадь грани $S = a²$: $F_{давл} = P_{низ} \cdot S = (P_{атм} + ρ_в \cdot g \cdot H) \cdot a²$

3. Сила давления воздуха на верхнюю грань кубика $F_{атм}$, направленная вниз. $F_{атм} = P_{атм} \cdot S = P_{атм} \cdot a²$

Условие равновесия кубика: сумма сил, направленных вверх, равна сумме сил, направленных вниз. $F_{давл} = F_т + F_{атм}$

Подставим выражения для сил в уравнение равновесия: $(P_{атм} + ρ_в \cdot g \cdot H) \cdot a² = ρ_с \cdot a³ \cdot g + P_{атм} \cdot a²$

Раскроем скобки в левой части: $P_{атм} \cdot a² + ρ_в \cdot g \cdot H \cdot a² = ρ_с \cdot a³ \cdot g + P_{атм} \cdot a²$

Сократим слагаемое $P_{атм} \cdot a²$, присутствующее в обеих частях уравнения: $ρ_в \cdot g \cdot H \cdot a² = ρ_с \cdot a³ \cdot g$

Сократим обе части уравнения на $g \cdot a²$: $ρ_в \cdot H = ρ_с \cdot a$

Выразим искомую глубину $\text{H}$: $H = \frac{ρ_с}{ρ_в} \cdot a$

Подставим числовые значения: $H = \frac{7800 \text{ кг/м³}}{1000 \text{ кг/м³}} \cdot 0.01 \text{ м} = 7.8 \cdot 0.01 \text{ м} = 0.078 \text{ м}$

Переведем результат в сантиметры: $0.078 \text{ м} = 7.8 \text{ см}$.

Ответ: кубик установится на глубине $H = 7.8 \text{ см}$.