Номер 251, страница 31 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

7 класс. Сообщающиеся сосуды - номер 251, страница 31.

Условие.

251. В сообщающихся сосудах разной площади сечения находится ртуть. После того как в более узкий сосуд налили столб масла высотой 60 см, уровень ртути в широком сосуде повысился относительно первоначального положения на 0,7 см. Определите отношение площади сечения большего сосуда к площади сечения меньшего.

Решение.

Дано:

$h_м = 60 \text{ см}$

$\Delta h_2 = 0.7 \text{ см}$

В качестве справочных данных используем плотности масла и ртути:

$\rho_м = 900 \text{ кг/м}^3$

$\rho_р = 13600 \text{ кг/м}^3$

Перевод в систему СИ:

$h_м = 60 \text{ см} = 0.6 \text{ м}$

$\Delta h_2 = 0.7 \text{ см} = 0.007 \text{ м}$

Найти:

$\frac{S_2}{S_1}$

Решение:

Пусть $S_1$ — площадь сечения более узкого сосуда, а $S_2$ — площадь сечения более широкого сосуда. Когда в узкий сосуд наливают масло, уровень ртути в нем опускается на величину $\Delta h_1$, а в широком сосуде — поднимается на величину $\Delta h_2$.

Поскольку ртуть — несжимаемая жидкость, объем вытесненной ртути из узкого сосуда равен объему прибывшей ртути в широкий сосуд:

$V_1 = V_2$

$S_1 \cdot \Delta h_1 = S_2 \cdot \Delta h_2$

Отсюда можем выразить величину, на которую опустился уровень ртути в узком сосуде:

$\Delta h_1 = \frac{S_2}{S_1} \cdot \Delta h_2$

После установления равновесия давление на одном и том же горизонтальном уровне в сообщающихся сосудах должно быть одинаковым. Выберем в качестве такого уровня границу раздела масла и ртути в узком сосуде.

Давление, создаваемое столбом масла в узком сосуде (сверх атмосферного), равно $P_1 = \rho_м g h_м$.

Это давление уравновешивается давлением избыточного столба ртути в широком сосуде. Высота этого столба ртути равна разности уровней ртути в сосудах: $h_р = \Delta h_1 + \Delta h_2$.

Давление, создаваемое этим столбом ртути, равно $P_2 = \rho_р g (\Delta h_1 + \Delta h_2)$.

Приравниваем давления:

$P_1 = P_2$

$\rho_м g h_м = \rho_р g (\Delta h_1 + \Delta h_2)$

Сократив ускорение свободного падения $\text{g}$, получаем:

$\rho_м h_м = \rho_р (\Delta h_1 + \Delta h_2)$

Подставим в это уравнение ранее найденное выражение для $\Delta h_1$:

$\rho_м h_м = \rho_р \left( \frac{S_2}{S_1} \Delta h_2 + \Delta h_2 \right)$

Вынесем $\Delta h_2$ за скобки:

$\rho_м h_м = \rho_р \Delta h_2 \left( \frac{S_2}{S_1} + 1 \right)$

Теперь выразим искомое отношение площадей $\frac{S_2}{S_1}$:

$\frac{S_2}{S_1} + 1 = \frac{\rho_м h_м}{\rho_р \Delta h_2}$

$\frac{S_2}{S_1} = \frac{\rho_м h_м}{\rho_р \Delta h_2} - 1$

Подставим числовые значения. Так как в формулу входит отношение высот, их можно оставить в сантиметрах:

$\frac{S_2}{S_1} = \frac{900 \cdot 60}{13600 \cdot 0.7} - 1 = \frac{54000}{9520} - 1 \approx 5.6723 - 1 = 4.6723$

Округлим результат до десятых.

Ответ: отношение площади сечения большего сосуда к площади сечения меньшего составляет примерно 4,7.