Номер 245, страница 30 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

7 класс. Сообщающиеся сосуды - номер 245, страница 30.

Условие.

245. В сообщающиеся сосуды налита ртуть, а поверх нее в оба сосуда налили керосин, высота столба которого составила 48 см в одном сосуде и 31 см – в другом. Определите разность уровней ртути в сосудах.

Решение.

Дано:

$h_1 = 48 \text{ см}$ (высота столба керосина в первом сосуде)

$h_2 = 31 \text{ см}$ (высота столба керосина во втором сосуде)

$\rho_к = 800 \text{ кг/м}^3$ (табличное значение плотности керосина)

$\rho_р = 13600 \text{ кг/м}^3$ (табличное значение плотности ртути)

Перевод в систему СИ:

$h_1 = 48 \text{ см} = 0.48 \text{ м}$

$h_2 = 31 \text{ см} = 0.31 \text{ м}$

Найти:

$\Delta h$ — разность уровней ртути.

Решение:

В сообщающихся сосудах давление на одном и том же горизонтальном уровне в однородной жидкости одинаково. Так как в сосуды поверх ртути налит керосин разной высоты, уровни ртути в них будут разными. В том сосуде, где столб керосина выше ($h_1$), давление на ртуть будет больше, поэтому уровень ртути в нем будет ниже.

Выберем горизонтальный уровень, проходящий через границу раздела ртути и керосина в том колене, где уровень ртути ниже (то есть в колене с высотой керосина $h_1$). Давление $P_1$ на этом уровне создается столбом керосина высотой $h_1$ и атмосферным давлением $P_{атм}$:

$P_1 = P_{атм} + \rho_к g h_1$

Давление $P_2$ на этом же горизонтальном уровне в другом колене создается столбом керосина высотой $h_2$, столбом ртути высотой $\Delta h$ (искомая разность уровней) и атмосферным давлением $P_{атм}$:

$P_2 = P_{атм} + \rho_к g h_2 + \rho_р g \Delta h$

Согласно закону сообщающихся сосудов, давления на одном уровне должны быть равны:

$P_1 = P_2$

$P_{атм} + \rho_к g h_1 = P_{атм} + \rho_к g h_2 + \rho_р g \Delta h$

Упростим уравнение, сократив атмосферное давление $P_{атм}$ и ускорение свободного падения $\text{g}$:

$\rho_к h_1 = \rho_к h_2 + \rho_р \Delta h$

Выразим из этого уравнения разность уровней ртути $\Delta h$:

$\rho_р \Delta h = \rho_к h_1 - \rho_к h_2$

$\rho_р \Delta h = \rho_к (h_1 - h_2)$

$\Delta h = \frac{\rho_к (h_1 - h_2)}{\rho_р}$

Подставим числовые значения и произведем расчеты:

$\Delta h = \frac{800 \text{ кг/м}^3 \cdot (0.48 \text{ м} - 0.31 \text{ м})}{13600 \text{ кг/м}^3} = \frac{800 \text{ кг/м}^3 \cdot 0.17 \text{ м}}{13600 \text{ кг/м}^3} = \frac{136}{13600} \text{ м} = 0.01 \text{ м}$

Переведем результат в сантиметры:

$0.01 \text{ м} = 1 \text{ см}$

Ответ: разность уровней ртути в сосудах составляет 1 см.