Номер 246, страница 30 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

7 класс. Сообщающиеся сосуды - номер 246, страница 30.

Условие.

246. U-образная трубка частично заполнена водой. Какой высоты столб керосина нужно налить в одно из колен, чтобы разность уровней керосина и воды в разных коленах трубки была равна 1 см?

Решение.

Дано:

Разность уровней жидкостей, $\Delta h = 1$ см

Плотность воды, $\rho_в = 1000$ кг/м³

Плотность керосина, $\rho_к = 800$ кг/м³

Перевод в систему СИ:

$\Delta h = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Высоту столба керосина, $h_к$ - ?

Решение:

В U-образной трубке, согласно закону сообщающихся сосудов, давление на одном и том же горизонтальном уровне в покоящейся однородной жидкости одинаково. В качестве уровня сравнения выберем границу раздела воды и керосина.

Пусть в одно колено налит столб керосина высотой $h_к$. Давление, которое он создает на уровне раздела, равно:

$p_к = \rho_к \cdot g \cdot h_к$

В другом колене на этом же уровне давление создается избыточным столбом воды высотой $h_в$. Это давление равно:

$p_в = \rho_в \cdot g \cdot h_в$

В состоянии равновесия эти давления равны:

$p_к = p_в$

$\rho_к \cdot g \cdot h_к = \rho_в \cdot g \cdot h_в$

Сократив на $\text{g}$ (ускорение свободного падения), получим:

$\rho_к \cdot h_к = \rho_в \cdot h_в$ (1)

По условию задачи, разность высот столбов керосина и воды в разных коленах составляет $\Delta h$. Уровень керосина в одном колене находится на высоте $h_к$ от границы раздела, а уровень воды в другом колене — на высоте $h_в$ от той же границы. Таким образом:

$h_к - h_в = \Delta h$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений. Из уравнения (2) выразим высоту столба воды $h_в$:

$h_в = h_к - \Delta h$

Подставим это выражение в уравнение (1):

$\rho_к \cdot h_к = \rho_в \cdot (h_к - \Delta h)$

Раскроем скобки и найдем искомую высоту $h_к$:

$\rho_к \cdot h_к = \rho_в \cdot h_к - \rho_в \cdot \Delta h$

$\rho_в \cdot \Delta h = \rho_в \cdot h_к - \rho_к \cdot h_к$

$\rho_в \cdot \Delta h = h_к \cdot (\rho_в - \rho_к)$

$h_к = \frac{\rho_в \cdot \Delta h}{\rho_в - \rho_к}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$h_к = \frac{1000 \frac{\text{кг}}{\text{м³}} \cdot 0.01 \text{ м}}{1000 \frac{\text{кг}}{\text{м³}} - 800 \frac{\text{кг}}{\text{м³}}} = \frac{10 \frac{\text{кг}}{\text{м²}}}{200 \frac{\text{кг}}{\text{м³}}} = 0.05 \text{ м}$

Переведем полученное значение в сантиметры:

$0.05 \text{ м} = 5 \text{ см}$

Ответ: нужно налить столб керосина высотой 5 см.