Номер 244, страница 30 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

7 класс. Сообщающиеся сосуды - номер 244, страница 30.

Условие.

244. В сообщающиеся сосуды налита ртуть, а поверх нее в один сосуд налит столб масла высотой 0,48 м, в другой – столб керосина высотой 0,2 м. Определите разность уровней ртути в сосудах.

Решение.

Дано:

Высота столба масла, $h_м = 0,48 \text{ м}$
Высота столба керосина, $h_к = 0,2 \text{ м}$
Плотность масла, $\rho_м \approx 900 \text{ кг/м}^3$ (справочное значение)
Плотность керосина, $\rho_к \approx 800 \text{ кг/м}^3$ (справочное значение)
Плотность ртути, $\rho_{рт} = 13600 \text{ кг/м}^3$ (справочное значение)

Найти:

Разность уровней ртути, $\Delta h$

Решение:

Задача решается с помощью закона сообщающихся сосудов, согласно которому давление на одном и том же горизонтальном уровне в покоящейся однородной жидкости одинаково.

Сначала определим, в каком из сосудов уровень ртути будет ниже. Это произойдет в том сосуде, где давление столба налитой сверху жидкости больше.

Давление, создаваемое столбом масла: $p_м = \rho_м g h_м$.
Давление, создаваемое столбом керосина: $p_к = \rho_к g h_к$.

Сравним величины $\rho_м h_м$ и $\rho_к h_к$:
$\rho_м h_м = 900 \text{ кг/м}^3 \cdot 0,48 \text{ м} = 432 \text{ кг/м}^2$.
$\rho_к h_к = 800 \text{ кг/м}^3 \cdot 0,2 \text{ м} = 160 \text{ кг/м}^2$.

Поскольку $\rho_м h_м > \rho_к h_к$, давление столба масла больше, и уровень ртути в сосуде с маслом будет ниже.

Выберем в качестве уровня для сравнения давлений горизонтальную плоскость, проходящую через границу раздела масла и ртути (нижний уровень ртути).

Давление в левом сосуде (с маслом) на этом уровне равно давлению, создаваемому столбом масла (атмосферное давление не учитываем, так как оно действует на оба сосуда):
$P_1 = \rho_м g h_м$.

Давление в правом сосуде (с керосином) на этом же уровне складывается из давления столба керосина и давления избыточного столба ртути высотой $\Delta h$ (искомая разность уровней):
$P_2 = \rho_к g h_к + \rho_{рт} g \Delta h$.

В состоянии равновесия давления на одном уровне должны быть равны: $P_1 = P_2$.
$\rho_м g h_м = \rho_к g h_к + \rho_{рт} g \Delta h$.

Можно сократить ускорение свободного падения $\text{g}$ в обеих частях уравнения:
$\rho_м h_м = \rho_к h_к + \rho_{рт} \Delta h$.

Выразим из этого уравнения разность уровней $\Delta h$:
$\rho_{рт} \Delta h = \rho_м h_м - \rho_к h_к$
$\Delta h = \frac{\rho_м h_м - \rho_к h_к}{\rho_{рт}}$.

Подставим числовые значения и выполним вычисления:
$\Delta h = \frac{900 \cdot 0,48 - 800 \cdot 0,2}{13600} = \frac{432 - 160}{13600} = \frac{272}{13600} = 0,02 \text{ м}$.

Ответ: 0,02 м.