Номер 250, страница 31 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

7 класс. Сообщающиеся сосуды - номер 250, страница 31.

Условие.

250. В сообщающихся сосудах находится ртуть. Площадь сечения одного сосуда в 2 раза больше, чем другого. В узкий сосуд наливают столб воды высотой 1,02 м. На сколько поднимется ртуть в широком сосуде?

Решение.

Дано:

$S_2 = 2S_1$

$h_в = 1,02$ м

$\rho_в = 1000$ кг/м³ (плотность воды)

$\rho_{рт} = 13600$ кг/м³ (плотность ртути)

Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

$\Delta h_2$ - ?

Решение:

Обозначим площадь сечения узкого сосуда как $S_1$, а широкого — как $S_2$. По условию $S_2 = 2S_1$. Изначально ртуть в обоих сосудах находится на одном уровне.

Когда в узкий сосуд наливают воду, уровень ртути в нем опускается на величину $\Delta h_1$, а в широком сосуде поднимается на величину $\Delta h_2$. Так как объем ртути, ушедшей из узкого сосуда, равен объему ртути, пришедшей в широкий, мы можем записать равенство объемов:

$V_1 = V_2$

$S_1 \cdot \Delta h_1 = S_2 \cdot \Delta h_2$

Подставим соотношение площадей $S_2 = 2S_1$:

$S_1 \cdot \Delta h_1 = (2S_1) \cdot \Delta h_2$

Отсюда находим связь между изменениями уровней ртути:

$\Delta h_1 = 2 \Delta h_2$

После установления равновесия давление на любом горизонтальном уровне в жидкости должно быть одинаковым. Выберем в качестве уровня сравнения новый, нижний уровень ртути в узком сосуде. Давление столба воды в узком сосуде должно уравновешиваться давлением столба ртути в широком сосуде, измеренным от этого же уровня.

Высота столба воды в узком сосуде равна $h_в$. Давление, создаваемое им: $P_в = \rho_в g h_в$.

Высота столба ртути в широком сосуде относительно нового уровня в узком сосуде будет равна сумме понижения уровня в узком сосуде и повышения в широком: $h_{рт} = \Delta h_1 + \Delta h_2$. Давление, создаваемое этим столбом ртути: $P_{рт} = \rho_{рт} g (\Delta h_1 + \Delta h_2)$.

Приравняем давления:

$P_в = P_{рт}$

$\rho_в g h_в = \rho_{рт} g (\Delta h_1 + \Delta h_2)$

Сократив на $\text{g}$, получим:

$\rho_в h_в = \rho_{рт} (\Delta h_1 + \Delta h_2)$

Теперь подставим в это уравнение найденное ранее соотношение $\Delta h_1 = 2 \Delta h_2$:

$\rho_в h_в = \rho_{рт} (2 \Delta h_2 + \Delta h_2)$

$\rho_в h_в = \rho_{рт} \cdot 3 \Delta h_2$

Выразим искомую величину $\Delta h_2$:

$\Delta h_2 = \frac{\rho_в h_в}{3 \rho_{рт}}$

Подставим числовые значения:

$\Delta h_2 = \frac{1000 \text{ кг/м³} \cdot 1,02 \text{ м}}{3 \cdot 13600 \text{ кг/м³}} = \frac{1020}{40800} \text{ м} = 0,025 \text{ м}$

Можно перевести результат в сантиметры: $0,025 \text{ м} = 2,5 \text{ см}$.

Ответ: ртуть в широком сосуде поднимется на 0,025 м (или 2,5 см).