Номер 248, страница 30 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

7 класс. Сообщающиеся сосуды - номер 248, страница 30.

Условие.

248. U-образная трубка, одно колено которой длиннее другого, наполнена до некоторой высоты ртутью. В более длинную часть трубки наливают масло. В результате чего ртуть в короткой трубке поднимается на $h = 1,5 \text{ см}$ относительно первоначального уровня (см. рисунок). Определите высоту столба масла.

Решение.

Дано:

$h = 1,5$ см

$\rho_{рт} = 13600$ кг/м³ (плотность ртути, справочное значение)

$\rho_{м} = 900$ кг/м³ (плотность масла, справочное значение)

Перевод в систему СИ:
$h = 0,015$ м

Найти:

$H_{м}$ — высота столба масла.

Решение:

Когда в длинное колено U-образной трубки наливают масло, оно оказывает давление на ртуть. Под действием этого давления уровень ртути в длинном колене опускается, а в коротком — поднимается.

По условию, ртуть в коротком колене поднимается на высоту $h = 1,5$ см относительно первоначального уровня. Поскольку трубка является сообщающимся сосудом с постоянным поперечным сечением, то уровень ртути в длинном колене опустится на такую же высоту $\text{h}$.

Таким образом, общая разность уровней ртути в левом и правом коленах составит:

$H_{рт} = h + h = 2h$

Система находится в равновесии, когда давление столба масла в длинном колене уравновешивает давление избыточного столба ртути. Согласно закону Паскаля для сообщающихся сосудов, давления на одном и том же горизонтальном уровне в покоящейся жидкости одинаковы. Выберем в качестве такого уровня границу раздела масла и ртути в длинном колене.

Давление, создаваемое столбом масла высотой $H_{м}$, равно:

$P_{м} = \rho_{м} \cdot g \cdot H_{м}$

Это давление уравновешивается давлением столба ртути высотой $H_{рт} = 2h$ в другом колене:

$P_{рт} = \rho_{рт} \cdot g \cdot H_{рт} = \rho_{рт} \cdot g \cdot (2h)$

Приравняем давления:

$P_{м} = P_{рт}$

$\rho_{м} \cdot g \cdot H_{м} = \rho_{рт} \cdot g \cdot 2h$

Сократим обе части уравнения на $\text{g}$ (ускорение свободного падения):

$\rho_{м} \cdot H_{м} = \rho_{рт} \cdot 2h$

Выразим из этого уравнения искомую высоту столба масла $H_{м}$:

$H_{м} = \frac{\rho_{рт} \cdot 2h}{\rho_{м}}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$H_{м} = \frac{13600 \text{ кг/м³} \cdot 2 \cdot 0,015 \text{ м}}{900 \text{ кг/м³}} = \frac{13600 \cdot 0,03}{900} \text{ м} = \frac{408}{900} \text{ м} \approx 0,453$ м.

Переведем результат в сантиметры для наглядности: $0,453$ м $= 45,3$ см.

Ответ: высота столба масла составляет 45,3 см.